Enunciado del ejercicio: Solucionar las siguientes transformadas inversas de Laplace. a) \( \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4}{s^{2}+s}\right\} \)

Para resolver la transformada inversa de Laplace de la expresión \(\frac{4}{s^{2} + s}\), seguiremos los siguientes pasos: ### Paso 1: Factorizar el denominador Primero, factorizamos el denominador: \[ s^{2} + s = s(s + 1) \] Así, la expresión se convierte en: \[ \frac{4}{s(s + 1)} \] ### Paso 2: Descomposición en fracciones parciales Descomponemos la fracción en términos más sencillos: \[ \frac{4}{s(s + 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 1} \] Multiplicamos ambos lados por \(s(s + 1)\) para eliminar los denominadores: \[ 4 = A(s + 1) + B s \] Ahora, resolvemos para \(A\) y \(B\): - **Para \(s = 0\):** \[ 4 = A(0 + 1) + B(0) \Rightarrow A = 4 \] - **Para \(s = -1\):** \[ 4 = A(-1 + 1) + B(-1) \Rightarrow 4 = -B \Rightarrow B = -4 \] Por lo tanto, la descomposición es: \[ \frac{4}{s(s + 1)} = \frac{4}{s} - \frac{4}{s + 1} \] ### Paso 3: Aplicar la transformada inversa de Laplace Aplicamos la transformada inversa término por término utilizando las tablas de transformadas inversas conocidas: \[ \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{4}{s}\right\} = 4 \cdot \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{1}{s}\right\} = 4 \cdot 1 = 4 \] \[ \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{-4}{s + 1}\right\} = -4 \cdot \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{1}{s + 1}\right\} = -4 e^{-t} \] ### Paso 4: Combinar los resultados Finalmente, combinamos los dos resultados obtenidos: \[ \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{4}{s^{2} + s}\right\} = 4 - 4 e^{-t} = 4(1 - e^{-t}) \] **Respuesta Final:** \[ \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{4}{s^{2} + s}\right\} = 4(1 - e^{-t}) \]