(1.0) Usando matriz inversa resuelva el sistema matricial. $$ \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 5 \ 2 & 4 & 3 \ 3 & 4 & 8\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x \ y \ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \ 2 \ 3\end{array}\right] $$

Question

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Sea el sistema

$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 5 \
2 & 4 & 3 \
3 & 4 & 8
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \
y \
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \
2 \
3
\end{pmatrix}.
$$

Procedemos a resolverlo usando la matriz inversa.

### 1. Calcular el determinante de $$ A $$

Dados

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 5 \
2 & 4 & 3 \
3 & 4 & 8
\end{pmatrix},
$$

usamos la expansión por la primera fila:

$$
\det(A)= 1\cdot \det\begin{pmatrix}4 & 3 \ 4 & 8\end{pmatrix}
- (-1)\cdot \det\begin{pmatrix}2 & 3 \ 3 & 8\end{pmatrix}
+ 5\cdot \det\begin{pmatrix}2 & 4 \ 3 & 4\end{pmatrix}.
$$

Calculamos cada determinante:

- $$\det\begin{pmatrix}4 & 3 \ 4 & 8\end{pmatrix} = 4\cdot8 - 3\cdot4 = 32 - 12 = 20.$$
- $$\det\begin{pmatrix}2 & 3 \ 3 & 8\end{pmatrix} = 2\cdot8 - 3\cdot3 = 16 - 9 = 7.$$
- $$\det\begin{pmatrix}2 & 4 \ 3 & 4\end{pmatrix} = 2\cdot4 - 4\cdot3 = 8 - 12 = -4.$$

Por lo tanto:

$$
\det(A)= 1\cdot20 + 1\cdot 7 + 5\cdot(-4)= 20 + 7 - 20 = 7.
$$

### 2. Calcular la matriz adjunta de $$ A $$

Buscamos los cofactores para cada elemento. Denotamos $$ C_{ij} $$ como el cofactor de la entrada en la fila $$ i $$ y columna $$ j $$.

- $$ C_{11} $$: Menor de eliminar la fila 1 y columna 1:

$$
  \det\begin{pmatrix}4 & 3 \ 4 & 8\end{pmatrix} = 20 \quad \Rightarrow \quad C_{11} = +20.
  $$

- $$ C_{12} $$: Eliminar fila 1, columna 2:

$$
  \det\begin{pmatrix}2 & 3 \ 3 & 8\end{pmatrix} = 7,\quad \text{signo } (-1)^{1+2}=-1, \quad C_{12}=-7.
  $$

- $$ C_{13} $$: Eliminar fila 1, columna 3:

$$
  \det\begin{pmatrix}2 & 4 \ 3 & 4\end{pmatrix} = -4, \quad (-1)^{1+3}=1, \quad C_{13}=-4.
  $$

- $$ C_{21} $$: Eliminar fila 2, columna 1:

$$
  \det\begin{pmatrix}-1 & 5 \ 4 & 8\end{pmatrix} = (-1)\cdot8 - 5\cdot4 = -8 -20 = -28, \quad (-1)^{2+1}=-1, \quad C_{21}=28.
  $$

- $$ C_{22} $$: Eliminar fila 2, columna 2:

$$
  \det\begin{pmatrix}1 & 5 \ 3 & 8\end{pmatrix} = 1\cdot8 - 5\cdot3 = 8 -15 = -7, \quad (-1)^{2+2}=1, \quad C_{22}=-7.
  $$

- $$ C_{23} $$: Eliminar fila 2, columna 3:

$$
  \det\begin{pmatrix}1 & -1 \ 3 & 4\end{pmatrix} = 1\cdot4 - (-1)\cdot3 = 4+3 = 7, \quad (-1)^{2+3}=-1, \quad C_{23}=-7.
  $$

- $$ C_{31} $$: Eliminar fila 3, columna 1:

$$
  \det\begin{pmatrix}-1 & 5 \ 4 & 3\end{pmatrix} = (-1)\cdot3 - 5\cdot4 = -3 -20 = -23, \quad (-1)^{3+1}=1, \quad C_{31}=-23.
  $$

- $$ C_{32} $$: Eliminar fila 3, columna 2:

$$
  \det\begin{pmatrix}1 & 5 \ 2 & 3\end{pmatrix} = 1\cdot3 - 5\cdot2 = 3 -10 = -7, \quad (-1)^{3+2}=-1, \quad C_{32}=7.
  $$

- $$ C_{33} $$: Eliminar fila 3, columna 3:

$$
  \det\begin{pmatrix}1 & -1 \ 2 & 4\end{pmatrix} = 1\cdot4 - (-1)\cdot2 = 4+2 =6, \quad (-1)^{3+3}=1, \quad C_{33}=6.
  $$

La matriz de cofactores es:

$$
C = \begin{pmatrix}
20 & -7 & -4 \
28 & -7 & -7 \
-23 & 7 & 6
\end{pmatrix}.
$$

Entonces, la matriz adjunta es la transpuesta de $$ C $$:

$$
\text{adj}(A) =
\begin{pmatrix}
20 & 28 & -23 \
-7 & -7 & 7 \
-4 & -7 & 6
\end{pmatrix}.
$$

### 3. Calcular la matriz inversa $$ A^{-1} $$

La fórmula es:

$$
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\text{adj}(A)= \frac{1}{7}\begin{pmatrix}
20 & 28 & -23 \
-7 & -7 & 7 \
-4 & -7 & 6
\end{pmatrix}.
$$

### 4. Resolver $$ A\mathbf{x}= \mathbf{b} $$ usando $$ A^{-1} $$

Multiplicamos $$ A^{-1} $$ por el vector $$ \mathbf{b} $$:

$$
\mathbf{b} =
\begin{pmatrix}
1 \
2 \
3
\end{pmatrix}.
$$

Entonces:

$$
\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix}
20 & 28 & -23 \
-7 & -7 & 7 \
-4 & -7 & 6
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \
2 \
3
\end{pmatrix}.
$$

Realizamos el producto:

- Para $$ x $$:

$$
x = \frac{1}{7}\left(20\cdot1 + 28\cdot2 - 23\cdot3\right) =\frac{1}{7}(20+56-69)=\frac{7}{7}=1.
$$

- Para $$ y $$:

$$
y = \frac{1}{7}\left((-7)\cdot1 + (-7)\cdot2 + 7\cdot3\right) =\frac{1}{7}(-7-14+21)=\frac{0}{7}=0.
$$

- Para $$ z $$:

$$
z = \frac{1}{7}\left((-4)\cdot1 + (-7)\cdot2 + 6\cdot3\right) =\frac{1}{7}(-4-14+18)=\frac{0}{7}=0.
$$

### Respuesta final

La solución del sistema es:

$$
x=1,\quad y=0,\quad z=0.
$$
La solución del sistema es $$ x = 1 $$, $$ y = 0 $$, y $$ z = 0 $$.

(1.0) Usando matriz inversa resuelva el sistema matricial.

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