13 Compare les nombres réels suivants \( \begin{array}{ll}\text { 1. } \ln 7 \text { et } \ln 5 ; & 2 \cdot \ln \sqrt{3} \text { et } \ln \frac{1}{2} \\ \text { 3. } \ln 29 \text { et } \ln 4 \sqrt{5}\end{array} \)

Comparons les nombres réels donnés en utilisant les propriétés des logarithmes naturels (\( \ln \)) qui sont des fonctions strictement croissantes. Cela signifie que si \( a > b \), alors \( \ln(a) > \ln(b) \). 1. **\( \ln 7 \) et \( \ln 5 \)** - **Comparaison** : \( 7 > 5 \) - **Conclusion** : \( \ln 7 > \ln 5 \) 2. **\( 2 \cdot \ln \sqrt{3} \) et \( \ln \frac{1}{2} \)** - Simplifions \( 2 \cdot \ln \sqrt{3} \) : \[ 2 \cdot \ln \sqrt{3} = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \ln 3 \right) = \ln 3 \] - **Comparaison** : \( 3 > \frac{1}{2} \) - **Conclusion** : \( \ln 3 > \ln \frac{1}{2} \), donc \( 2 \cdot \ln \sqrt{3} > \ln \frac{1}{2} \) 3. **\( \ln 29 \) et \( \ln (4 \sqrt{5}) \)** - Calculons \( 4 \sqrt{5} \) : \[ 4 \sqrt{5} \approx 4 \times 2,236 = 8,944 \] - **Comparaison** : \( 29 > 8,944 \) - **Conclusion** : \( \ln 29 > \ln (4 \sqrt{5}) \) **Résumé des comparaisons :** 1. \( \ln 7 > \ln 5 \) 2. \( 2 \cdot \ln \sqrt{3} > \ln \frac{1}{2} \) 3. \( \ln 29 > \ln (4 \sqrt{5}) \)