Answer
La función \( f(x) = \sqrt{\ln(e^{2x} + e^{-2x})} \) es una función par con dominio todos los números reales. Su derivada es \( f'(x) = \frac{\tanh(2x)}{\sqrt{\ln(e^{2x} + e^{-2x})}} \). Para valores grandes de \( x \), la función se comporta como \( \sqrt{2|x|} \).
Solution
Vamos a estudiar la función
f(x) = √{ln(e^(2x) + e^(–2x))}
y a analizar algunas de sus propiedades.
1. Simplificación de la expresión
Observa que
e^(2x) + e^(–2x) = 2 cosh(2x)
porque la función coseno hiperbólico se define como
cosh(z) = (e^z + e^(–z))⁄2.
Por ello, se puede escribir f(x) como
f(x) = √{ln[2 cosh(2x)]}.
Esta forma resulta más compacta y nos permite reconocer algunas propiedades de la función.
2. Dominio de la función
Para que f(x) esté definida en los números reales se requiere que el argumento de la raíz cuadrada sea mayor o igual que cero, es decir:
ln(e^(2x) + e^(–2x)) ≥ 0.
Dado que e^(2x) y e^(–2x) son siempre positivos, se tiene que e^(2x) + e^(–2x) ≥ 2 (por la desigualdad aritmético-geométrica). De hecho:
e^(2x) + e^(–2x) ≥ 2
→ ln(e^(2x) + e^(–2x)) ≥ ln(2) > 0.
Por tanto, el argumento de la raíz siempre es positivo y el dominio de f es todos los números reales: x ∈ ℝ.
3. Simetría
La función cosh(2x) es par, ya que cosh(2(–x)) = cosh(2x). Así, en la forma f(x) = √{ln[2 cosh(2x)]} se deduce que f(–x) = f(x), lo que indica que f es una función par.
4. Cálculo de la derivada
Podemos encontrar la derivada f '(x) usando la regla de la cadena. Partiendo de
f(x) = [ln(e^(2x) + e^(–2x))]^(1/2),
derivamos:
a) Sea u(x) = ln(e^(2x) + e^(–2x)). Entonces f(x) = √{u(x)} y su derivada es
f '(x) = (1 / (2√{u(x)})) · u '(x).
b) Calculemos u '(x). Recordando que la derivada de ln(v(x)) es v '(x)/v(x), tenemos
u '(x) = [d/dx (e^(2x) + e^(–2x))] / [e^(2x) + e^(–2x)].
Como:
d/dx e^(2x) = 2e^(2x) y d/dx e^(–2x) = –2e^(–2x),
se obtiene
u '(x) = (2e^(2x) – 2e^(–2x)) / (e^(2x) + e^(–2x)).
Notamos que
(e^(2x) – e^(–2x))⁄(e^(2x) + e^(–2x)) = tanh(2x),
por lo tanto, podemos escribir
u '(x) = 2 tanh(2x).
c) Sustituyendo en la derivada de f(x):
f '(x) = [1 / (2√{ln(e^(2x) + e^(–2x))})] · [2 tanh(2x)]
= tanh(2x) / √{ln(e^(2x) + e^(–2x))}.
O, en la forma simplificada usando cosh:
f '(x) = tanh(2x) / √{ln[2 cosh(2x)]}.
5. Comportamiento asintótico
Para x → +∞, se tiene que:
e^(2x) ≫ e^(–2x) → e^(2x) + e^(–2x) ≈ e^(2x),
de modo que
ln(e^(2x) + e^(–2x)) ≈ 2x,
y así:
f(x) ≈ √(2x).
De forma similar, dado que f es par, se tiene un comportamiento análogo para x → –∞.
6. Resumen de las propiedades
• La función se puede escribir como f(x) = √{ln[2 cosh(2x)]}.
• El dominio es ℝ, ya que ln(e^(2x) + e^(–2x)) ≥ ln2 > 0.
• La función es par (f(–x) = f(x)).
• La derivada es f '(x) = tanh(2x) / √{ln[2 cosh(2x)]}.
• El comportamiento asintótico para x grandes es f(x) ≈ √(2|x|).
Esta es una descripción general de la función f(x) = √{ln(e^(2x) + e^(–2x))} y sus propiedades fundamentales.
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
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