Obtener las matrices \( A \) y B que verifica el sistema: \( -3 A+2 B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right] \) \( 2 A+-2 B=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right] \)

Para resolver el sistema de ecuaciones matriciales dado por: \[ -3 A + 2 B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] \[ 2 A - 2 B = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \end{bmatrix} \] podemos reescribir las ecuaciones para despejar \( A \) y \( B \). Primero, simplificamos la segunda ecuación: \[ 2 A - 2 B = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \end{bmatrix} \] Dividimos toda la ecuación por 2: \[ A - B = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & 0 & -1 \end{bmatrix} \] Ahora, podemos expresar \( A \) en términos de \( B \): \[ A = B + \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & 0 & -1 \end{bmatrix} \] Sustituyendo esta expresión de \( A \) en la primera ecuación: \[ -3(B + \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & 0 & -1 \end{bmatrix}) + 2B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] Desarrollamos la ecuación: \[ -3B - 3\begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & 0 & -1 \end{bmatrix} + 2B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] Simplificamos: \[ (-3B + 2B) - 3\begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] \[ -B - 3\begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] Calculamos \( -3\begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & 0 & -1 \end{bmatrix} \): \[ -3\begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{3}{2} & 3 \\ \frac{3}{2} & 0 & 3 \end{bmatrix} \] Sustituyendo esto en la ecuación: \[ -B + \begin{bmatrix} 0 & \frac{3}{2} & 3 \\ \frac{3}{2} & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] Despejamos \( B \): \[ -B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & \frac{3}{2} & 3 \\ \frac{3}{2} & 0 & 3 \end{bmatrix} \] Realizamos la resta: \[ -B = \begin{bmatrix} 1 & 0 - \frac{3}{2} & 2 - 3 \\ 1 - \frac{3}{2} & 1 & 0 - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{3}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & 1 & -3 \end{bmatrix} \] Por lo tanto, multiplicamos por -1: \[ B = \begin{bmatrix} -1 & \frac{3}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 3 \end{bmatrix} \] Ahora sustituimos \( B \) en la expresión de \( A \): \[ A = B + \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & 0 & -1 \end{bmatrix} \] Calculamos \( A \): \[ A = \begin{bmatrix} -1 & \frac{3}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & 0 & -1 \end{bmatrix} \] Realizamos la suma: \[ A = \begin{bmatrix} -1 & \frac{3}{2} - \frac{1}{2} & 1 - 1 \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & -1 & 3 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix} \] Finalmente, tenemos las matrices \( A \) y \( B \): \[ A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} -1 & \frac{3}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 3 \end{bmatrix} \]