a. $$ \left[\frac{(-2)^{5} \cdot(-2)^{8}}{(-2)^{15}}\right]^{-4} $$ b. $$ \left[(-3)^{4}\right]^{3} \cdot(-2)^{5} \cdot(-3)^{12} \cdot(-2)^{2} $$ c. $$ \left[\frac{(-7)^{4} \cdot(3)^{10} \cdot(-7)^{6}}{(-3)^{11} \cdot(7)^{11}}\right]^{5} \div(3)^{-2} $$

Question

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**a.**

1. Escribimos la expresión original:
   
   $$
   \left[\frac{(-2)^{5} \cdot (-2)^{8}}{(-2)^{15}}\right]^{-4}
   $$

2. Combinamos los exponentes en el numerador:

$$
   (-2)^5 \cdot (-2)^8 = (-2)^{5+8} = (-2)^{13}
   $$

3. Simplificamos la fracción:

$$
   \frac{(-2)^{13}}{(-2)^{15}} = (-2)^{13-15} = (-2)^{-2}
   $$

4. Elevamos al exponente $$-4$$:

$$
   \left[(-2)^{-2}\right]^{-4} = (-2)^{-2 \cdot (-4)} = (-2)^{8}
   $$

5. Como el exponente es par, $$(-2)^8 = 2^8$$:

$$
   2^8 = 256
   $$

**Respuesta a:** $$256$$

---

**b.**

1. Escribimos la expresión original:

$$
   \left[(-3)^4\right]^3 \cdot (-2)^5 \cdot (-3)^{12} \cdot (-2)^2
   $$

2. Aplicamos la potencia a una potencia en el primer término:

$$
   \left[(-3)^4\right]^3 = (-3)^{4 \cdot 3} = (-3)^{12}
   $$

3. La expresión queda:

$$
   (-3)^{12} \cdot (-2)^5 \cdot (-3)^{12} \cdot (-2)^2
   $$

4. Agrupamos términos con la misma base. Para $$-3$$:

$$
   (-3)^{12} \cdot (-3)^{12} = (-3)^{12+12} = (-3)^{24}
   $$

Y para $$-2$$:

$$
   (-2)^5 \cdot (-2)^2 = (-2)^{5+2} = (-2)^7
   $$

5. La expresión se convierte en:

$$
   (-3)^{24} \cdot (-2)^7
   $$

6. Dado que el exponente 24 es par, $$(-3)^{24} = 3^{24}$$. Por otro lado, $$(-2)^7$$ conserva el signo negativo ya que la potencia es impar:

$$
   (-2)^7 = -2^7 = -128
   $$

7. Finalmente, se tiene:

$$
   (-3)^{24} \cdot (-2)^7 = 3^{24} \cdot (-128) = -128 \cdot 3^{24}
   $$

**Respuesta b:** $$-128 \cdot 3^{24}$$

---

**c.**

1. Consideramos la expresión:

$$
   \left[\frac{(-7)^4 \cdot 3^{10} \cdot (-7)^6}{(-3)^{11} \cdot 7^{11}}\right]^5 \div 3^{-2}
   $$

2. Agrupamos los términos con la misma base en el numerador:

$$
   (-7)^4 \cdot (-7)^6 = (-7)^{4+6} = (-7)^{10}
   $$

3. Notamos que como el exponente es par, $$(-7)^{10} = 7^{10}$$. Así, la fracción se simplifica a:

$$
   \frac{7^{10} \cdot 3^{10}}{(-3)^{11} \cdot 7^{11}}
   $$

4. Separamos la fracción en dos partes:

$$
   \frac{3^{10}}{(-3)^{11}} \quad \text{y} \quad \frac{7^{10}}{7^{11}}
   $$

Para la parte de $$7$$:

$$
   \frac{7^{10}}{7^{11}} = 7^{10-11} = 7^{-1}
   $$

5. Para la parte de $$3$$, observamos que:

$$
   (-3)^{11} = (-1)^{11} \cdot 3^{11} = -3^{11}
   $$

Así:

$$
   \frac{3^{10}}{-3^{11}} = -\frac{3^{10}}{3^{11}} = -\frac{1}{3}
   $$

6. Entonces, la expresión dentro de los corchetes se reduce a:

$$
   -\frac{1}{3} \cdot 7^{-1} = -\frac{1}{3 \cdot 7} = -\frac{1}{21}
   $$

7. Elevamos esta expresión a la quinta potencia:

$$
   \left(-\frac{1}{21}\right)^5 = -\frac{1}{21^5}
   $$
   
   (El signo negativo se conserva pues la potencia es impar).

8. Se realiza la división por $$3^{-2}$$, lo que equivale a multiplicar por $$3^2$$:

$$
   -\frac{1}{21^5} \div 3^{-2} = -\frac{1}{21^5} \cdot 3^2 = -\frac{9}{21^5}
   $$

9. Simplificamos reconociendo que $$21 = 3 \cdot 7$$, de modo que:

$$
   21^5 = (3 \cdot 7)^5 = 3^5 \cdot 7^5
   $$

Por lo tanto:

$$
   -\frac{9}{3^5 \cdot 7^5}
   $$
   
   Observamos que $$ \frac{9}{3^5} = \frac{9}{243} = \frac{1}{27} $$. Así, la expresión queda:

$$
   -\frac{1}{27 \cdot 7^5}
   $$

**Respuesta c:** $$-\frac{1}{27 \cdot 7^5}$$
**a.** 256 **b.** $$-128 \cdot 3^{24}$$ **c.** $$-\frac{1}{27 \cdot 7^5}$$

a. \( \left[\frac{(-2)^{5} \cdot(-2)^{8}}{(-2)^{15}}\right]^{-4} \) b. \( \left[(-3)^{4}\right]^{3} \cdot(-2)^{5} \cdot(-3)^{12} \cdot(-2)^{2} \) c. \( \left[\frac{(-7)^{4} \cdot(3)^{10} \cdot(-7)^{6}}{(-3)^{11} \cdot(7)^{11}}\right]^{5} \div(3)^{-2} \)

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