2) e $$ C(8,10) $$ estão alinhados. 2) Verifique se os pontos $$ A(3,2), B(4,4) $$ e $$ C(5,6) $$ sào colineares. 3) Verifique se os pontos $$ D(1,4), E(2,1) $$ e $$ F(5,5) $$ estão alinhados. 4) Verifique se os pontos $$ (-4,-3),(-1,1) $$ e $$ (2,5) $$ ectão alinhados. 5) Verifique ne os pontos (-4, 5), (-3,2) e ( $$ -2,-2 $$ ) eet3̀ alinhados. 6) Verifique se os pontos $$ (-5,3),(-3,1) $$ e $$ (1,-4) $$ peftincem a una mesma rata. 7) Verifique se os pontos $$ (-4,-3),(-1,1) $$ e $$ (2,5) $$ estão alinhados. 8) Verifique se os pontos $$ (-4,5),(-3,2) $$ e $$ (-2,-2) $$ estão alinhados. 9) Verifique se os pontos $$ (-5,3),(-3,1) $$ e $$ (1,-4) $$ pertencern a uma mesma 10) Determine o valor de a para que os pontos $$ (6,4),(3,2) $$ e $$ (a,-2) $$ sejam 11) Determine o valor de b para os pontos $$ (1,4),(3,1) $$ e $$ (5 $$, b) sejam vértic triángulo qualquer 12) Verifique se os pontos são colineares, ou formam um triângulo: a) $$ A(1,2), B(3,1) $$ e $$ C(5,-4) $$ b) $$ A(0,-1), B(-1,4) $$ e $$ C(1,2) $$

Question

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Para verificar se os pontos estão alinhados (ou colineares), podemos usar a fórmula da inclinação (ou coeficiente angular) entre dois pontos. Se a inclinação entre todos os pares de pontos for a mesma, então os pontos são colineares.

A inclinação $$ m $$ entre dois pontos $$ (x_1, y_1) $$ e $$ (x_2, y_2) $$ é dada por:

$$
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
$$

Se temos três pontos $$ A(x_1, y_1) $$, $$ B(x_2, y_2) $$ e $$ C(x_3, y_3) $$, eles são colineares se:

$$
\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1}
$$

Vamos resolver cada um dos itens:

### 2) Verifique se os pontos $$ A(3,2), B(4,4) $$ e $$ C(5,6) $$ são colineares.

Calculando as inclinações:

1. Entre $$ A $$ e $$ B $$:
$$
m_{AB} = \frac{4 - 2}{4 - 3} = \frac{2}{1} = 2
$$

2. Entre $$ A $$ e $$ C $$:
$$
m_{AC} = \frac{6 - 2}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2
$$

Como $$ m_{AB} = m_{AC} $$, os pontos $$ A, B $$ e $$ C $$ são colineares.

### 3) Verifique se os pontos $$ D(1,4), E(2,1) $$ e $$ F(5,5) $$ estão alinhados.

Calculando as inclinações:

1. Entre $$ D $$ e $$ E $$:
$$
m_{DE} = \frac{1 - 4}{2 - 1} = \frac{-3}{1} = -3
$$

2. Entre $$ D $$ e $$ F $$:
$$
m_{DF} = \frac{5 - 4}{5 - 1} = \frac{1}{4}
$$

Como $$ m_{DE} \neq m_{DF} $$, os pontos $$ D, E $$ e $$ F $$ não são colineares.

### 4) Verifique se os pontos $$ (-4,-3),(-1,1) $$ e $$ (2,5) $$ estão alinhados.

Calculando as inclinações:

1. Entre $$ (-4,-3) $$ e $$ (-1,1) $$:
$$
m_{(-4,-3)(-1,1)} = \frac{1 - (-3)}{-1 - (-4)} = \frac{4}{3}
$$

2. Entre $$ (-4,-3) $$ e $$ (2,5) $$:
$$
m_{(-4,-3)(2,5)} = \frac{5 - (-3)}{2 - (-4)} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
$$

Como $$ m_{(-4,-3)(-1,1)} = m_{(-4,-3)(2,5)} $$, os pontos são colineares.

### 5) Verifique se os pontos $$ (-4, 5), (-3,2) $$ e $$ (-2,-2) $$ estão alinhados.

Calculando as inclinações:

1. Entre $$ (-4,5) $$ e $$ (-3,2) $$:
$$
m_{(-4,5)(-3,2)} = \frac{2 - 5}{-3 - (-4)} = \frac{-3}{1} = -3
$$

2. Entre $$ (-4,5) $$ e $$ (-2,-2) $$:
$$
m_{(-4,5)(-2,-2)} = \frac{-2 - 5}{-2 - (-4)} = \frac{-7}{2}
$$

Como $$ m_{(-4,5)(-3,2)} \neq m_{(-4,5)(-2,-2)} $$, os pontos não são colineares.

### 6) Verifique se os pontos $$ (-5,3),(-3,1) $$ e $$ (1,-4) $$ pertencem a uma mesma reta.

Calculando as inclinações:

1. Entre $$ (-5,3) $$ e $$ (-3,1) $$:
$$
m_{(-5,3)(-3,1)} = \frac{1 - 3}{-3 - (-5)} = \frac{-2}{2} = -1
$$

2. Entre $$ (-5,3) $$ e $$ (1,-4) $$:
$$
m_{(-5,3)(1,-4)} = \frac{-4 - 3}{1 - (-5)} = \frac{-7}{6}
$$

Como $$ m_{(-5,3)(-3,1)} \neq m_{(-5,3)(1,-4)} $$, os pontos não são colineares.

### 7) Verifique se os pontos $$ (-4,-3),(-1,1) $$ e $$ (2,5) $$ estão alinhados.

Já calculamos isso no item 4 e confirmamos que os pontos são colineares.

### 8) Verifique se os pontos $$ (-4,5),(-3,2) $$ e $$ (-2,-2) $$ estão alinhados.

Já calculamos isso no item 5 e confirmamos que os pontos não são colineares.

### 9) Verifique se os pontos $$ (-5,3),(-3,1) $$ e $$ (1,-4) $$ pertencem a uma mesma reta.

Já calculamos isso no item 6 e confirmamos que os pontos não são colineares.

### 10) Determine o valor de $$ a $$ para que os pontos $$ (6,4),(3,2) $$ e $$ (a,-2) $$ sejam colineares.

Usando a condição de colinearidade:

$$
\frac{2 - 4}{3 - 6} = \frac{-2 - 4}{a - 6}
$$

Calculando:

$$
\frac{-2}{-3} = \frac{-6}{a - 6}
$$

Simplificando:

$$
\frac{2}{3} = \frac{-6}{a - 6}
$$

Multiplicando cruzado:

$$
2(a - 6) = -18
$$

Resolvendo:

\[
2a - 12 = -18 \implies 2a = -
Para verificar se os pontos estão alinhados, calculamos a inclinação entre pares de pontos. Se as inclinações forem iguais, os pontos são colineares. 1. **Pontos $$ A(3,2), B(4,4) $$ e $$ C(5,6) $$:** Colineares. 2. **Pontos $$ D(1,4), E(2,1) $$ e $$ F(5,5) $$:** Não colineares. 3. **Pontos $$ (-4,-3),(-1,1) $$ e $$ (2,5) $$:** Colineares. 4. **Pontos $$ (-4,5),(-3,2) $$ e $$ (-2,-2) $$:** Não colineares. 5. **Pontos $$ (-5,3),(-3,1) $$ e $$ (1,-4) $$:** Não colineares. 6. **Pontos $$ (-5,3),(-3,1) $$ e $$ (1,-4) $$:** Não colineares. 7. **Pontos $$ (-4,-3),(-1,1) $$ e $$ (2,5) $$:** Colineares. 8. **Pontos $$ (-4,5),(-3,2) $$ e $$ (-2,-2) $$:** Não colineares. 9. **Pontos $$ (-5,3),(-3,1) $$ e $$ (1,-4) $$:** Não colineares. 10. **Valor de $$ a $$ para que $$ (6,4), (3,2) $$ e $$ (a,-2) $$ sejam colineares:** $$ a = 9 $$. **Respostas:** 1. **Colineares** 2. **Não colineares** 3. **Colineares** 4. **Não colineares** 5. **Não colineares** 6. **Não colineares** 7. **Colineares** 8. **Não colineares** 9. **Não colineares** 10. **$$ a = 9 $$**

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