13. ¿Cuál es el último dígito de la expresión \( 2^{42}+3^{901} \)

Para encontrar el último dígito de la expresión \( 2^{42} + 3^{901} \), debemos calcular el último dígito de cada término por separado y luego sumarlos. ### Paso 1: Calcular el último dígito de \( 2^{42} \) Los últimos dígitos de las potencias de 2 siguen un patrón cíclico: - \( 2^1 = 2 \) (último dígito 2) - \( 2^2 = 4 \) (último dígito 4) - \( 2^3 = 8 \) (último dígito 8) - \( 2^4 = 16 \) (último dígito 6) - \( 2^5 = 32 \) (último dígito 2) - ... El patrón de los últimos dígitos es: 2, 4, 8, 6 y se repite cada 4 potencias. Para encontrar el último dígito de \( 2^{42} \), calculamos \( 42 \mod 4 \): \[ 42 \div 4 = 10 \quad \text{(cociente)} \quad \text{y} \quad 42 - (10 \times 4) = 2 \quad \text{(residuo)} \] Esto significa que \( 2^{42} \) tiene el mismo último dígito que \( 2^2 \), que es 4. ### Paso 2: Calcular el último dígito de \( 3^{901} \) Los últimos dígitos de las potencias de 3 también siguen un patrón cíclico: - \( 3^1 = 3 \) (último dígito 3) - \( 3^2 = 9 \) (último dígito 9) - \( 3^3 = 27 \) (último dígito 7) - \( 3^4 = 81 \) (último dígito 1) - \( 3^5 = 243 \) (último dígito 3) - ... El patrón de los últimos dígitos es: 3, 9, 7, 1 y se repite cada 4 potencias. Para encontrar el último dígito de \( 3^{901} \), calculamos \( 901 \mod 4 \): \[ 901 \div 4 = 225 \quad \text{(cociente)} \quad \text{y} \quad 901 - (225 \times 4) = 1 \quad \text{(residuo)} \] Esto significa que \( 3^{901} \) tiene el mismo último dígito que \( 3^1 \), que es 3. ### Paso 3: Sumar los últimos dígitos Ahora sumamos los últimos dígitos que hemos encontrado: \[ 4 + 3 = 7 \] Por lo tanto, el último dígito de la expresión \( 2^{42} + 3^{901} \) es \( \boxed{7} \).