13. ¿Cuál es el último dígito de la expresión \( 2^{42}+3^{901} \)

Para encontrar el último dígito de \( 2^{42} + 3^{901} \), tenemos que calcular el último dígito de cada término por separado. El último dígito de \( 2^n \) sigue un patrón: - \( 2^1 = 2 \) - \( 2^2 = 4 \) - \( 2^3 = 8 \) - \( 2^4 = 16 \) (último dígito 6) - \( 2^5 = 32 \) (último dígito 2, y así se repite) Este ciclo tiene una longitud de 4: \( 2, 4, 8, 6 \). Para \( n = 42 \), hacemos \( 42 \mod 4 \), que nos da 2. Así que el último dígito de \( 2^{42} \) es 4. Para \( 3^n \), el último dígito también sigue un patrón: - \( 3^1 = 3 \) - \( 3^2 = 9 \) - \( 3^3 = 27 \) (último dígito 7) - \( 3^4 = 81 \) (último dígito 1 y se repite) Este ciclo tiene una longitud de 4: \( 3, 9, 7, 1 \). Para \( n = 901 \), calculamos \( 901 \mod 4 \), lo que nos da 1. Por lo tanto, el último dígito de \( 3^{901} \) es 3. Finalmente, sumamos los últimos dígitos: \[ 4 (de \ 2^{42}) + 3 (de \ 3^{901}) = 7. \] Así que el último dígito de \( 2^{42} + 3^{901} \) es \( \boxed{7} \).