Übung 2 Punktprobe mit Parameter Gegeben ist die Ebene $$ E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \ 1 \ 1\end{array} ight)+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \ 1 \ 0\end{array} ight)+s \cdot\left(\begin{array}{r}-1 \ 1 \ 1\end{array} ight) $$. a) Prüfen Sie, ob die Punkte $$ A(3|2| 1) $$, $$ B(1|4| 2) $$ und $$ C(-1|2| 3) $$ in E liegen. b) Für welchen Wert des Parameters a liegen die Punkte $$ D(a|a+3| 3) $$ bzw. $$ F(a|2 a| 3) $$ in E c) Kann der Punkt $$ P(a|-a| 2 a+2) $$ in $$ E $$ liegen?

Question

Übung 2 Punktprobe mit Parameter Gegeben ist die Ebene $$ E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \ 1 \ 1\end{array}ight)+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \ 1 \ 0\end{array}ight)+s \cdot\left(\begin{array}{r}-1 \ 1 \ 1\end{array}ight) $$. a) Prüfen Sie, ob die Punkte $$ A(3|2| 1) $$, $$ B(1|4| 2) $$ und $$ C(-1|2| 3) $$ in E liegen. b) Für welchen Wert des Parameters a liegen die Punkte $$ D(a|a+3| 3) $$ bzw. $$ F(a|2 a| 3) $$ in E c) Kann der Punkt $$ P(a|-a| 2 a+2) $$ in $$ E $$ liegen?

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**a) Punkte A, B, C**

Gegeben ist die Ebenengleichung  
$$
E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\1\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\1\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\1\1\end{pmatrix}
$$
Das bedeutet, dass
$$
x=2+r-s,\quad y=1+r+s,\quad z=1+s.
$$

**Punkt A $$(3,2,1)$$:**

Einsetzen in die Koordinaten:
$$
2+r-s=3,\quad 1+r+s=2,\quad 1+s=1.
$$

Aus der dritten Gleichung folgt:
$$
1+s=1\quad\Longrightarrow\quad s=0.
$$

Setzt man $$ s=0 $$ in die erste Gleichung ein:
$$
2+r=3\quad\Longrightarrow\quad r=1.
$$
In der zweiten Gleichung:
$$
1+1+0=2,
$$
was stimmt. Somit liegt $$ A $$ in $$ E $$.

**Punkt B $$(1,4,2)$$:**

Einsetzen:
$$
2+r-s=1,\quad 1+r+s=4,\quad 1+s=2.
$$

Aus der dritten Gleichung:
$$
1+s=2\quad\Longrightarrow\quad s=1.
$$
Erste Gleichung:
$$
2+r-1=1\quad\Longrightarrow\quad r=0.
$$
Zweite Gleichung:
$$
1+0+1=2\quad\text{(statt 4)},
$$
also besteht kein $$ r,s $$-Wert, das $$ B $$ erfüllt. $$ B $$ liegt somit nicht in $$ E $$.

**Punkt C $$(-1,2,3)$$:**

Einsetzen:
$$
2+r-s=-1,\quad 1+r+s=2,\quad 1+s=3.
$$

Aus der dritten Gleichung:
$$
1+s=3\quad\Longrightarrow\quad s=2.
$$
Erste Gleichung:
$$
2+r-2=-1\quad\Longrightarrow\quad r=-1.
$$
Zweite Gleichung:
$$
1+(-1)+2=2,
$$
was stimmt. Somit liegt $$ C $$ in $$ E $$.

---

**b) Punkte D und F**

**Punkt D $$(a,\ a+3,\ 3)$$:**

Vergleicht man die Koordinaten von $$ D $$ mit der Parametergleichung:

1. $$2+r-s = a$$,
2. $$1+r+s = a+3$$,
3. $$1+s = 3$$.

Aus (3) folgt:
$$
1+s=3\quad\Longrightarrow\quad s=2.
$$
Einsetzen in (1):
$$
2+r-2=a\quad\Longrightarrow\quad r=a.
$$
In (2):
$$
1+a+2=a+3,
$$
was für alle $$ a $$ gilt.

Somit liegt $$ D $$ in $$ E $$ für alle $$ a \in \mathbb{R} $$.

**Punkt F $$(a,\, 2a,\, 3)$$:**

Die Koordinaten führen zu:

1. $$2+r-s=a$$,
2. $$1+r+s=2a$$,
3. $$1+s=3$$.

Aus (3):
$$
s=2.
$$
Einsetzen in (1):
$$
2+r-2 = a\quad\Longrightarrow\quad r=a.
$$
Einsetzen in (2):
$$
1+a+2=2a\quad\Longrightarrow\quad a+3=2a\quad\Longrightarrow\quad a=3.
$$

Somit liegt $$ F $$ in $$ E $$ genau dann, wenn $$ a=3 $$.

---

**c) Punkt $$ P(a,\, -a,\, 2a+2) $$**

Vergleicht man mit der Ebenengleichung erhält man:

1. $$2+r-s = a$$,
2. $$1+r+s = -a$$,
3. $$1+s = 2a+2$$.

Aus (3):
$$
1+s=2a+2\quad\Longrightarrow\quad s=2a+1.
$$
Einsetzen in (1):
$$
2+r-(2a+1)=a\quad\Longrightarrow\quad r-2a+1=a\quad\Longrightarrow\quad r=3a-1.
$$
Nun in (2):
$$
1+(3a-1)+(2a+1)=-a.
$$
Berechnen:
$$
1+3a-1+2a+1=5a+1=-a.
$$
Löst man:
$$
5a+1=-a\quad\Longrightarrow\quad 6a=-1\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{1}{6}.
$$

Also kann $$ P $$ in $$ E $$ liegen, wenn
$$
a=-\frac{1}{6}.
$$
**a) Punkte A, B, C** - **Punkt A $$(3,2,1)$$:** Ja, liegt in $$ E $$. - **Punkt B $$(1,4,2)$$:** Nein, liegt nicht in $$ E $$. - **Punkt C $$(-1,2,3)$$:** Ja, liegt in $$ E $$. --- **b) Punkte D und F** - **Punkt D $$(a,\ a+3,\ 3)$$:** Für alle $$ a $$ liegt $$ D $$ in $$ E $$. - **Punkt F $$(a,\ 2a,\ 3)$$:** Nur wenn $$ a=3 $$ liegt $$ F $$ in $$ E $$. --- **c) Punkt $$ P(a,\ -a,\ 2a+2) $$** - **Punkt $$ P $$ liegt in $$ E $$ wenn $$ a = -\frac{1}{6} $$.**

Übung 2 Punktprobe mit Parameter
Gegeben ist die Ebene .
a) Prüfen Sie, ob die Punkte , und in E liegen.
b) Für welchen Wert des Parameters a liegen die Punkte bzw. in E
c) Kann der Punkt in liegen?

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