Utilizar la regla de Cramer y la calculadora proporcionada $$ \begin{array}{l}-x+4 y-2 z=1 \ 3 x+4 y+5 z=-5 \ 5 x-2 y+4 z=-5\end{array} $$

Question

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Dado el sistema

$$
\begin{array}{rcl}
-x+4y-2z &=& 1,\[6mm]
3x+4y+5z &=& -5,\[6mm]
5x-2y+4z &=& -5,
\end{array}
$$

utilizaremos la regla de Cramer para encontrar $$ x $$, $$ y $$ y $$ z $$.

### 1. Matriz de coeficientes y determinante de $$ A $$

La matriz de coeficientes es

$$
A=\begin{pmatrix}
-1 & 4 & -2\[6mm]
3 & 4 & 5\[6mm]
5 & -2 & 4
\end{pmatrix}.
$$

El determinante de $$ A $$ se calcula mediante

$$
\det(A)= a_{11}(a_{22}\,a_{33}-a_{23}\,a_{32})-a_{12}(a_{21}\,a_{33}-a_{23}\,a_{31})+a_{13}(a_{21}\,a_{32}-a_{22}\,a_{31}).
$$

Identificamos:
- $$ a_{11}=-1,\; a_{12}=4,\; a_{13}=-2 $$
- $$ a_{21}=3,\; a_{22}=4,\; a_{23}=5 $$
- $$ a_{31}=5,\; a_{32}=-2,\; a_{33}=4 $$

Procedemos:

1. Primer término:
   $$
   a_{11}(a_{22}\,a_{33}-a_{23}\,a_{32}) = -1\Bigl(4\cdot4-5\cdot(-2)\Bigr) = -1(16+10) = -26.
   $$

2. Segundo término:
   $$
   -a_{12}(a_{21}\,a_{33}-a_{23}\,a_{31}) = -4\Bigl(3\cdot4-5\cdot5\Bigr)= -4\Bigl(12-25\Bigr)= -4(-13) = 52.
   $$

3. Tercer término:
   $$
   a_{13}(a_{21}\,a_{32}-a_{22}\,a_{31}) = -2\Bigl(3\cdot(-2)-4\cdot5\Bigr)= -2\Bigl(-6-20\Bigr)= -2(-26)= 52.
   $$

Sumando:

$$
\det(A)=-26+52+52=78.
$$

### 2. Determinantes de las matrices modificadas

Definimos el vector de términos independientes

$$
\mathbf{b}=\begin{pmatrix} 1\[-4mm]-5\[-4mm]-5 \end{pmatrix}.
$$

#### Determinante para $$ x $$ ($$ A_x $$)

Reemplazamos la primera columna de $$ A $$ por $$ \mathbf{b} $$:

$$
A_x=\begin{pmatrix}
1 & 4 & -2\[4mm]
-5 & 4 & 5\[4mm]
-5 & -2 & 4
\end{pmatrix}.
$$

Se tiene

$$
\det(A_x)= 1\cdot\det\begin{pmatrix} 4 & 5\[3mm] -2 & 4 \end{pmatrix}
- 4\cdot\det\begin{pmatrix} -5 & 5\[3mm] -5 & 4 \end{pmatrix}
+ (-2)\cdot\det\begin{pmatrix} -5 & 4\[3mm] -5 & -2 \end{pmatrix}.
$$

Calculemos cada determinante 2×2:

1. $$\det\begin{pmatrix} 4 & 5\ -2 & 4 \end{pmatrix}= 4\cdot4-5\cdot(-2)= 16+10=26.$$

2. $$\det\begin{pmatrix} -5 & 5\ -5 & 4 \end{pmatrix}= (-5)\cdot4-5\cdot(-5)= -20+25=5.$$

3. $$\det\begin{pmatrix} -5 & 4\ -5 & -2 \end{pmatrix}= (-5)\cdot(-2)-4\cdot(-5)= 10+20=30.$$

Sustituyendo:

$$
\det(A_x)= 1\cdot26- 4\cdot5+ (-2)\cdot30 = 26-20-60= -54.
$$

Entonces, por Cramer:

$$
x=\frac{\det(A_{x})}{\det(A)}=\frac{-54}{78}=\frac{-9}{13}.
$$

#### Determinante para $$ y $$ ($$ A_y $$)

Reemplazamos la segunda columna de $$ A $$ por $$ \mathbf{b} $$:

$$
A_y=\begin{pmatrix}
-1 & 1 & -2\[4mm]
3 & -5 & 5\[4mm]
5 & -5 & 4
\end{pmatrix}.
$$

Expandimos:

$$
\det(A_y)= -1\cdot\det\begin{pmatrix} -5 & 5\[3mm] -5 & 4 \end{pmatrix}
- 1\cdot\det\begin{pmatrix} 3 & 5\[3mm] 5 & 4 \end{pmatrix}
+ (-2)\cdot\det\begin{pmatrix} 3 & -5\[3mm] 5 & -5 \end{pmatrix}.
$$

Calculemos los determinantes 2×2:

1. $$\det\begin{pmatrix} -5 & 5\ -5 & 4 \end{pmatrix}= (-5)\cdot4- 5\cdot(-5)= -20+25=5.$$  
   Primer término: $$ -1\cdot5 = -5.$$

2. $$\det\begin{pmatrix} 3 & 5\ 5 & 4 \end{pmatrix}= 3\cdot4-5\cdot5= 12-25=-13.$$  
   Segundo término: $$ -1\cdot(-13)= 13.$$

3. $$\det\begin{pmatrix} 3 & -5\ 5 & -5 \end{pmatrix}= 3\cdot(-5)-(-5)\cdot5= -15+25=10.$$  
   Tercer término: $$ -2\cdot10= -20.$$

Sumando:

$$
\det(A_y)= -5+13-20= -12.
$$

Por lo tanto:

\[
y=\frac{\det(A
Utilizando la regla de Cramer, se obtienen las soluciones $$ x = -\frac{9}{13} $$, $$ y = -12 $$, y $$ z $$ no se puede determinar con la información dada.

Utilizar la regla de Cramer y la calculadora proporcionada

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