37 On considère un nombre réel \( x \) tel que \( -3

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Jan 13,2025

Pour encadrer les expressions données en fonction de \( x \) tel que \( -3 < x \leqslant 2 \), nous allons déterminer les bornes inférieure et supérieure de chaque expression en appliquant les opérations nécessaires. Voici les encadrements pour chacune des expressions : ### a. \( x + 1 \) Ajoutons 1 aux inégalités de \( x \) : \[ -3 < x \leqslant 2 \\ \implies -3 + 1 < x + 1 \leqslant 2 + 1 \\ \implies -2 < x + 1 \leqslant 3 \] **Encadrement :** \[ -2 < x + 1 \leqslant 3 \] ### b. \( x - 1 \) Soustrayons 1 aux inégalités de \( x \) : \[ -3 < x \leqslant 2 \\ \implies -3 - 1 < x - 1 \leqslant 2 - 1 \\ \implies -4 < x - 1 \leqslant 1 \] **Encadrement :** \[ -4 < x - 1 \leqslant 1 \] ### c. \( 3x \) Multipliant par 3 (nombre positif, sens des inégalités inchangé) : \[ -3 < x \leqslant 2 \\ \implies 3 \times (-3) < 3x \leqslant 3 \times 2 \\ \implies -9 < 3x \leqslant 6 \] **Encadrement :** \[ -9 < 3x \leqslant 6 \] ### d. \( -5x \) Multipliant par -5 (nombre négatif, sens des inégalités inversé) : \[ -3 < x \leqslant 2 \\ \implies -5 \times 2 \leqslant -5x < -5 \times (-3) \\ \implies -10 \leqslant -5x < 15 \] **Encadrement :** \[ -10 \leqslant -5x < 15 \] ### e. \( \frac{x}{2} \) Divisant par 2 (nombre positif, sens des inégalités inchangé) : \[ -3 < x \leqslant 2 \\ \implies \frac{-3}{2} < \frac{x}{2} \leqslant \frac{2}{2} \\ \implies -\frac{3}{2} < \frac{x}{2} \leqslant 1 \] **Encadrement :** \[ -\frac{3}{2} < \frac{x}{2} \leqslant 1 \] ### f. \( -x \) Multipliant par -1 (nombre négatif, sens des inégalités inversé) : \[ -3 < x \leqslant 2 \\ \implies -2 \leqslant -x < 3 \] **Encadrement :** \[ -2 \leqslant -x < 3 \] ### g. \( -\frac{x}{2} \) Multipliant par \(-\frac{1}{2}\) (nombre négatif, sens des inégalités inversé) : \[ -3 < x \leqslant 2 \\ \implies -\frac{2}{1} \leqslant -\frac{x}{2} < \frac{3}{1} \implies -1 \leqslant -\frac{x}{2} < \frac{3}{2} \] **Encadrement :** \[ -1 \leqslant -\frac{x}{2} < \frac{3}{2} \] ### h. \( 2x + 3 \) Appliquons la transformation \( 2x + 3 \) aux inégalités de \( x \) : \[ -3 < x \leqslant 2 \\ \implies 2 \times (-3) + 3 < 2x + 3 \leqslant 2 \times 2 + 3 \\ \implies -6 + 3 < 2x + 3 \leqslant 4 + 3 \\ \implies -3 < 2x + 3 \leqslant 7 \] **Encadrement :** \[ -3 < 2x + 3 \leqslant 7 \] ### Récapitulatif des encadrements : \[ \begin{array}{ll} \text{a. } & -2 < x + 1 \leqslant 3 \\ \text{b. } & -4 < x - 1 \leqslant 1 \\ \text{c. } & -9 < 3x \leqslant 6 \\ \text{d. } & -10 \leqslant -5x < 15 \\ \text{e. } & -\frac{3}{2} < \frac{x}{2} \leqslant 1 \\ \text{f. } & -2 \leqslant -x < 3 \\ \text{g. } & -1 \leqslant -\frac{x}{2} < \frac{3}{2} \\ \text{h. } & -3 < 2x + 3 \leqslant 7 \\ \end{array} \]