Pregunta \( 1 \quad \) Sin responder aún Puntaje de \( 1.0 \quad \) Señalar con bandera la pregunta 1. Hallar las coordenadas del vértice, del foco, la ecuación de la directriz, y elaborar la gráfica de la sigiuiente parábol \( 5 x^{2}+30 y=0 \)

1. Comenzamos con la ecuación dada: \[ 5x^{2}+30y=0 \] 2. Despejamos \( y \) en función de \( x \): \[ 30y = -5x^{2} \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{5}{30}x^{2} = -\frac{1}{6}x^{2} \] Esto nos da la forma canónica: \[ y = -\frac{1}{6}x^{2} \] 3. Identificamos que la parábola tiene su vértice en el origen: \[ V(0,0) \] 4. Para hallar el foco y la directriz, expresamos la ecuación en la forma estándar de una parábola vertical. La forma canónica es: \[ (x-h)^{2}=4p(y-k) \] Como hemos obtenido: \[ x^{2} = -6y \] y teniendo \(h=0\) y \(k=0\), comparamos: \[ x^{2}=4p\,y \quad \text{con} \quad x^{2}=-6y \] De donde se tiene: \[ 4p=-6 \quad \Rightarrow \quad p=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2} \] 5. El valor de \( p \) nos permite determinar: - El foco: Como la parábola tiene vértice en \((0,0)\) y eje vertical, el foco se encuentra en: \[ F\left(0, p\right)=\left(0,-\frac{3}{2}\right) \] - La directriz: La ecuación de la directriz es: \[ y=-p \quad \Rightarrow \quad y=-\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2} \] 6. Resumiendo: - Vértice: \( (0,0) \) - Foco: \( \left(0,-\frac{3}{2}\right) \) - Directriz: \( y=\frac{3}{2} \) 7. Gráfica de la parábola: - La parábola tiene su vértice en \((0,0)\) y se abre hacia abajo (debido a que el coeficiente de \( x^2 \) es negativo). - El foco se encuentra en \(\left(0,-\frac{3}{2}\right)\) (dentro de la parábola). - La directriz es la línea horizontal \( y=\frac{3}{2} \) (por encima del vértice). La gráfica aproximada sería: \[ \begin{array}{c} \text{\\[1mm]} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \draw[->] (-4,0) -- (4,0) node[right] {\(x\)}; \draw[->] (0,-4) -- (0,4) node[above] {\(y\)}; % Dibujar directriz \draw[dashed, red] (-4,1.5) -- (4,1.5) node[right] {\(y=\tfrac{3}{2}\)}; % Dibujar la parábola \draw[domain=-3.8:3.8,blue,thick] plot (\x,{-0.1667*\x*\x}); % Vértice \fill (0,0) circle (2pt) node[below left] {\(V(0,0)\)}; % Foco \fill (0,-1.5) circle (2pt) node[below left] {\(F(0,-\tfrac{3}{2})\)}; \end{tikzpicture} \end{array} \] (Nota: La gráfica utiliza la aproximación \( -\frac{1}{6} \approx -0.1667 \).) Este es el procedimiento completo para hallar las coordenadas del vértice, del foco, y la ecuación de la directriz, así como la elaboración de la gráfica de la parábola \( 5x^{2}+30y=0 \).