Pregunta $$ 1 \quad $$ Sin responder aún Puntaje de $$ 1.0 \quad $$ Señalar con bandera la pregunta 1. Hallar las coordenadas del vértice, del foco, la ecuación de la directriz, y elaborar la gráfica de la sigiuiente parábol $$ 5 x^{2}+30 y=0 $$

Question

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1. Comenzamos con la ecuación dada:
   $$
   5x^{2}+30y=0
   $$

2. Despejamos $$ y $$ en función de $$ x $$:
   $$
   30y = -5x^{2} \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{5}{30}x^{2} = -\frac{1}{6}x^{2}
   $$
   Esto nos da la forma canónica:
   $$
   y = -\frac{1}{6}x^{2}
   $$

3. Identificamos que la parábola tiene su vértice en el origen:
   $$
   V(0,0)
   $$

4. Para hallar el foco y la directriz, expresamos la ecuación en la forma estándar de una parábola vertical. La forma canónica es:
   $$
   (x-h)^{2}=4p(y-k)
   $$
   Como hemos obtenido:
   $$
   x^{2} = -6y
   $$
   y teniendo $$h=0$$ y $$k=0$$, comparamos:
   $$
   x^{2}=4p\,y \quad \text{con} \quad x^{2}=-6y
   $$
   De donde se tiene:
   $$
   4p=-6 \quad \Rightarrow \quad p=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}
   $$

5. El valor de $$ p $$ nos permite determinar:
   - El foco: Como la parábola tiene vértice en $$(0,0)$$ y eje vertical, el foco se encuentra en:
     $$
     F\left(0, p\right)=\left(0,-\frac{3}{2}\right)
     $$
   - La directriz: La ecuación de la directriz es:
     $$
     y=-p \quad \Rightarrow \quad y=-\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}
     $$

6. Resumiendo:
   - Vértice: $$ (0,0) $$
   - Foco: $$ \left(0,-\frac{3}{2}\right) $$
   - Directriz: $$ y=\frac{3}{2} $$

7. Gráfica de la parábola:

- La parábola tiene su vértice en $$(0,0)$$ y se abre hacia abajo (debido a que el coeficiente de $$ x^2 $$ es negativo).
   - El foco se encuentra en $$\left(0,-\frac{3}{2}\right)$$ (dentro de la parábola).
   - La directriz es la línea horizontal $$ y=\frac{3}{2} $$ (por encima del vértice).

La gráfica aproximada sería:

$$
   \begin{array}{c}
   \text{\[1mm]}
   \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
   \draw[->] (-4,0) -- (4,0) node[right] {$$x$$};
   \draw[->] (0,-4) -- (0,4) node[above] {$$y$$};
   % Dibujar directriz
   \draw[dashed, red] (-4,1.5) -- (4,1.5) node[right] {$$y=\tfrac{3}{2}$$};
   % Dibujar la parábola
   \draw[domain=-3.8:3.8,blue,thick] plot (\x,{-0.1667*\x*\x});
   % Vértice
   \fill (0,0) circle (2pt) node[below left] {$$V(0,0)$$};
   % Foco
   \fill (0,-1.5) circle (2pt) node[below left] {$$F(0,-\tfrac{3}{2})$$};
   \end{tikzpicture} 
   \end{array}
   $$

(Nota: La gráfica utiliza la aproximación $$ -\frac{1}{6} \approx -0.1667 $$.)

Este es el procedimiento completo para hallar las coordenadas del vértice, del foco, y la ecuación de la directriz, así como la elaboración de la gráfica de la parábola $$ 5x^{2}+30y=0 $$.
Vértice: (0,0), Foco: (0, -1.5), Directriz: $$ y = 1.5 $$. La parábola se abre hacia abajo con vértice en el origen, foco a 1.5 unidades por debajo, y directriz a 1.5 unidades por encima del vértice.

Pregunta \( 1 \quad \) Sin responder aún Puntaje de \( 1.0 \quad \) Señalar con bandera la pregunta 1. Hallar las coordenadas del vértice, del foco, la ecuación de la directriz, y elaborar la gráfica de la sigiuiente parábol \( 5 x^{2}+30 y=0 \)

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