13. \( z \) bir karmaşık sayı olmak üzere \( z=7^{a^{2}-2}+\left(7^{a+2}\right) \mathrm{i} \) karmaşık sayısında \( \frac{\operatorname{Re}(z)}{\operatorname{lm}(z)}=343 \) eşitliği veriliyor. Buna göre a'nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır? \( \begin{array}{llll}\text { A) }-7 & \text { B) }-2 & \text { C) }-1 & \text { D) } 2\end{array} \) E) 7 \( \$ \begin{array}{llll}\end{array} \)

Verilen karmaşık sayı \( z = 7^{a^2 - 2} + (7^{a + 2}) i \) şeklindedir. Burada \( \operatorname{Re}(z) = 7^{a^2 - 2} \) ve \( \operatorname{Im}(z) = 7^{a + 2} \) olarak tanımlanabilir. Verilen eşitlik: \[ \frac{\operatorname{Re}(z)}{\operatorname{Im}(z)} = 343 \] Bu durumda, yukarıdaki ifadeyi yerine koyarak: \[ \frac{7^{a^2 - 2}}{7^{a + 2}} = 343 \] Bu ifadeyi sadeleştirirsek: \[ 7^{a^2 - 2 - (a + 2)} = 343 \] Burada \( 343 = 7^3 \) olduğundan, eşitliği şu şekilde yazabiliriz: \[ 7^{a^2 - a - 4} = 7^3 \] Bu durumda, tabanlar aynı olduğundan, üstleri eşitleyebiliriz: \[ a^2 - a - 4 = 3 \] Bu denklemi düzenleyelim: \[ a^2 - a - 7 = 0 \] Şimdi bu ikinci dereceden denklemin köklerini bulmak için, kökler formülünü kullanabiliriz: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Burada \( a = 1, b = -1, c = -7 \) olduğundan: \[ a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} \] Bu ifadeyi hesaplayalım: \[ a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 28}}{2} \] \[ a = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2} \] Bu durumda \( a \) değerleri: \[ a_1 = \frac{1 + \sqrt{29}}{2}, \quad a_2 = \frac{1 - \sqrt{29}}{2} \] Şimdi \( a_1 \) ve \( a_2 \) değerlerinin çarpımını bulalım. İki kökün çarpımı, \( c/a \) formülü ile verilir: \[ a_1 \cdot a_2 = \frac{-7}{1} = -7 \] Sonuç olarak, \( a \)'nın alabileceği değerlerin çarpımı: \[ \boxed{-7} \]