8. \( x, y \in \mathbb{Z} \) \( \frac{1}{x+5}+\frac{1}{y-4}=1 \Rightarrow x+y= \) ?

Verilen denklemi çözmek için önce ortak payda ile yazalım: \[ \frac{1}{x+5} + \frac{1}{y-4} = 1 \] Ortak payda \( (x+5)(y-4) \) olduğuna göre, denklemi şu şekilde yazabiliriz: \[ \frac{(y-4) + (x+5)}{(x+5)(y-4)} = 1 \] Bu durumda, payı paydaya eşitleyerek: \[ y - 4 + x + 5 = (x + 5)(y - 4) \] Düzenleyelim: \[ x + y + 1 = (x + 5)(y - 4) \] Şimdi sağ tarafı açalım: \[ x + y + 1 = xy - 4x + 5y - 20 \] Her iki tarafı düzenleyelim: \[ 0 = xy - 4x + 5y - x - y - 21 \] Bu denklemi yeniden düzenleyelim: \[ xy - 5x + 4y - 21 = 0 \] Bu, \( x \) ve \( y \) için bir denklem. Şimdi \( y \) cinsinden \( x \) değerini bulalım: \[ y = \frac{5x + 21}{x - 4} \] Burada \( y \) tam sayı olabilmesi için \( x - 4 \) ifadesinin \( 5x + 21 \) ile tam bölünebilmesi gerekir. Bu durumda \( x - 4 \) değerini bulmak için \( x \) değerlerini deneyebiliriz. Örneğin, \( x = -1 \) alalım: \[ y = \frac{5(-1) + 21}{-1 - 4} = \frac{-5 + 21}{-5} = \frac{16}{-5} \quad \text{(tam sayı değil)} \] Şimdi \( x = 0 \): \[ y = \frac{5(0) + 21}{0 - 4} = \frac{21}{-4} \quad \text{(tam sayı değil)} \] Şimdi \( x = 1 \): \[ y = \frac{5(1) + 21}{1 - 4} = \frac{5 + 21}{-3} = \frac{26}{-3} \quad \text{(tam sayı değil)} \] Şimdi \( x = 2 \): \[ y = \frac{5(2) + 21}{2 - 4} = \frac{10 + 21}{-2} = \frac{31}{-2} \quad \text{(tam sayı değil)} \] Şimdi \( x = 3 \): \[ y = \frac{5(3) + 21}{3 - 4} = \frac{15 + 21}{-1} = \frac{36}{-1} = -36 \quad \text{(tam sayı)} \] Bu durumda \( x = 3 \) ve \( y = -36 \) bulduk. Şimdi \( x + y \) değerini hesaplayalım: \[ x + y = 3 - 36 = -33 \] Sonuç olarak: \[ \boxed{-33} \]