Défi 22 Vous pouvez rendre ce défi sur un parchemin. Le chef d'une compagnie de 83 orques a une trésorerie de 1600 pièces d'or. La compagnie doit attendre trois semaines en vilfe avant que leur nouveau contrat ne commence. Lui et chacun des membres mangent chaque jour un pain, qui sont vendus 0,2 pièces d'or chez le boulanger, 300 grammes de viande, vendue 2,3 pièces d'or le kilo chez le boucher, et un demi-litre de bière, vendu 1 pièce d'or le litre à la taverne. On note $$ x $$ le nombre de jours écoulés, $$ f(x) $$ la somme d'argent au jour $$ x $$, sachant que le chef a une figne de compte à la banque des nains de la Montagne d'Argent, qui fui permet de s'endetter et donc d'avoir une quantité d'argent négative. 1. Que vaut $$ f(0) $$ ? 2. Combien la compagnie dépense-t-elle par jour? 3. Exprimer $$ f(x) $$ en fonction de $$ x $$. 4. Donner le tableau de signes de $$ f $$. 5. En déduire sur quelle période la compagnie est à découvert. 6. Quel sera le découvert final? 7. La banque fait payer $$ 8 \% $$ de pénalité sur le découvert final, quelle sera la somme totale à rembourser avec l'argent du nouveau contrat?

Question

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1. Initialement, la trésorerie vaut  
$$
f(0)=1600.
$$

2. Chaque personnage consomme par jour :  
   - Un pain à $$\,0,2$$ pièce,  
   - $$300$$ grammes de viande (soit $$0,3$$ kg) à $$2,3$$ pièces le kilo, ce qui coûte  
     $$
     0,3\times2,3=0,69,
     $$
   - Un demi‑litre de bière à $$1$$ pièce le litre, soit $$0,5$$ pièce.  
   Le coût journalier par personne est donc  
   $$
   0,2+0,69+0,5=1,39.
   $$
   La compagnie comprend le chef et les $$83$$ orques, donc $$84$$ individus au total.  
   La dépense quotidienne totale est donc  
   $$
   84\times1,39=116,76 \text{ pièces d’or}.
   $$

3. La fonction $$f$$ décrivant la trésorerie au jour $$x$$ est obtenue en retranchant les dépenses cumulées au départ :
   $$
   f(x)=1600-116,76\,x.
   $$

4. Pour établir le tableau de signes, on cherche la valeur de $$x$$ pour laquelle $$f(x)=0$$ :
   $$
   1600-116,76\,x=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1600}{116,76}\approx13,70.
   $$
   Le tableau de signes de $$f$$ est donc :

$$
   \begin{array}{c|ccccc}
   x & 0 & & 13,70 & & +\infty \ \hline
   f(x) & + & \searrow & 0 & \searrow & -\
   \end{array}
   $$
   
5. La compagnie est à découvert lorsque $$f(x)<0$$, i.e. pour
   $$
   x>13,70.
   $$
   Ainsi, à partir du $$14^{\text{ème}}$$ jour (en considérant des jours entiers) la trésorerie devient négative durant la période d’attente.

6. Au bout de 21 jours (trois semaines), le découvert final est :
   $$
   f(21)=1600-116,76\times21=1600-2451,96=-851,96.
   $$
   La compagnie se retrouve donc avec un découvert de $$851,96$$ pièces d’or.

7. La banque applique une pénalité de $$8\%$$ sur le découvert final. Le montant des pénalités est :
   $$
   0,08\times851,96=68,1568.
   $$
   Le montant total à rembourser (découvert + pénalités) est donc :
   $$
   851,96+68,1568\approx920,12.
   $$

Ainsi, lorsque le nouveau contrat commencera, la compagnie devra rembourser environ $$920,12$$ pièces d’or.
1. Au début, la trésorerie est de 1600 pièces d'or. 2. Chaque jour, la compagnie dépense 116,76 pièces d'or. 3. La trésorerie au jour $$ x $$ est donnée par $$ f(x) = 1600 - 116,76x $$. 4. La trésorerie devient négative après environ 13,7 jours. 5. À partir du 14e jour, la compagnie est à découvert. 6. Le découvert final est de 851,96 pièces d'or. 7. Avec une pénalité de 8%, la somme totale à rembourser est d'environ 920,12 pièces d'or.

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