4.) Rester \( \frac{2}{2} x^{3}+x^{2}+x \) de \( 2 x^{3}-\frac{2 x^{2}-x}{3} \)

Consideramos la resta de la siguiente manera: queremos restar \[ \frac{2}{2}x^3 + x^2 + x \quad \text{de} \quad 2x^3 - \frac{2x^2 - x}{3}. \] Es decir, calculamos \[ 2x^3 - \frac{2x^2 - x}{3} - \left(\frac{2}{2}x^3 + x^2 + x\right). \] Paso 1. Simplificar la expresión dentro del paréntesis. Como \(\frac{2}{2}=1\), se tiene \[ \frac{2}{2}x^3 + x^2 + x = x^3 + x^2 + x. \] Paso 2. Escribir la expresión completa a restar: \[ 2x^3 - \frac{2x^2 - x}{3} - x^3 - x^2 - x. \] Paso 3. Agrupar términos semejantes. Separamos la parte de \(x^3\) y la parte que involucra fracción: \[ 2x^3 - x^3 = x^3. \] Por lo tanto, la expresión se reescribe como \[ x^3 - \frac{2x^2 - x}{3} - x^2 - x. \] Paso 4. Para combinar los términos, los escribimos con un denominador común, que es \(3\). Escribimos cada término como fracción: \[ x^3 = \frac{3x^3}{3},\quad x^2 = \frac{3x^2}{3},\quad x = \frac{3x}{3}. \] La expresión queda: \[ \frac{3x^3}{3} - \frac{2x^2 - x}{3} - \frac{3x^2}{3} - \frac{3x}{3}. \] Paso 5. Unificar en una única fracción: \[ \frac{3x^3 - (2x^2 - x) - 3x^2 - 3x}{3}. \] Paso 6. Expandir y simplificar el numerador: \[ 3x^3 - (2x^2 - x) - 3x^2 - 3x = 3x^3 - 2x^2 + x - 3x^2 - 3x. \] Combinamos términos semejantes: \[ 3x^3 - (2x^2+3x^2) + (x-3x) = 3x^3 - 5x^2 - 2x. \] Por lo tanto, la expresión queda: \[ \frac{3x^3 - 5x^2 - 2x}{3}. \] Paso 7. Factorizar el numerador sacando \(x\) en común: \[ 3x^3 - 5x^2 - 2x = x(3x^2 - 5x - 2). \] Para factorizar \(3x^2 - 5x - 2\), buscamos dos números que al multiplicarlos den \(3 \times (-2) = -6\) y al sumarlos den \(-5\). Es evidente que \(-6\) y \(1\) cumplen, ya que \[ -6+1=-5. \] Reescribimos: \[ 3x^2 - 5x - 2 = 3x^2 - 6x + x - 2 = 3x(x-2) + 1(x-2) = (3x+1)(x-2). \] Finalmente, la expresión factorizada es: \[ \frac{x(3x+1)(x-2)}{3}. \] La respuesta final es: \[ \boxed{\frac{x(3x+1)(x-2)}{3}}. \]