$$ imes 11 $$ Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit $$ f $$ la fonction de $$ \mathbb{R} $$ vers $$ \mathbb{R} $$ définie par: $$ f(x)=(x-3)^{2}+1 $$. Démontre que la droite (D) d'équation: $$ x=3 $$ est un axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction $$ f $$.

Question

$$ 	imes 11 $$ Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit $$ f $$ la fonction de $$ \mathbb{R} $$ vers $$ \mathbb{R} $$ définie par: $$ f(x)=(x-3)^{2}+1 $$. Démontre que la droite (D) d'équation: $$ x=3 $$ est un axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction $$ f $$.

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Soit $$ t $$ un réel. Pour démontrer que la droite d’équation $$ x=3 $$ est un axe de symétrie de la courbe représentative de $$ f $$, nous allons montrer que, pour tout $$ t \in \mathbb{R} $$, on a :

$$
f(3+t)=f(3-t)
$$

1. Calcul de $$ f(3+t) $$ :

$$
   f(3+t) = \big[(3+t)-3\big]^2 + 1 = t^2 + 1.
   $$

2. Calcul de $$ f(3-t) $$ :

$$
   f(3-t) = \big[(3-t)-3\big]^2 + 1 = (-t)^2 + 1 = t^2 + 1.
   $$

3. Comme $$ f(3+t) = t^2 + 1 = f(3-t) $$ pour tout $$ t \in \mathbb{R} $$, cela signifie que pour chaque point $$ (3+t, f(3+t)) $$ sur la courbe, il existe un point symétrique $$ (3-t, f(3-t)) $$ de part et d’autre de la droite $$ x=3 $$.

Ainsi, la droite d’équation $$ x=3 $$ est bien un axe de symétrie de la courbe représentative de $$ f $$.
La droite $$ x=3 $$ est un axe de symétrie de la courbe de la fonction $$ f(x) = (x-3)^2 + 1 $$ car pour tout réel $$ t $$, $$ f(3+t) = f(3-t) $$.

\( \times 11 \) Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit \( f \) la fonction de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \) définie par: \( f(x)=(x-3)^{2}+1 \). Démontre que la droite (D) d'équation: \( x=3 \) est un axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction \( f \).

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