\( \times 11 \) Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit \( f \) la fonction de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \) définie par: \( f(x)=(x-3)^{2}+1 \). Démontre que la droite (D) d'équation: \( x=3 \) est un axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction \( f \).

Pour démontrer que la droite \( (D) \) d'équation \( x=3 \) est un axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction \( f(x)=(x-3)^{2}+1 \), on doit vérifier que pour tout \( x \in \mathbb{R} \), l'égalité suivante est vérifiée : \( f(3-h) = f(3+h) \) où \( h \) est un nombre réel. Calculons \( f(3-h) \) et \( f(3+h) \) : 1. \( f(3-h) = ((3-h)-3)^{2}+1 = (-h)^{2}+1 = h^{2}+1 \). 2. \( f(3+h) = ((3+h)-3)^{2}+1 = h^{2}+1 \). Comme nous voyons que \( f(3-h) = f(3+h) \), cela prouve que la droite \( x=3 \) est un axe de symétrie pour la fonction \( f \). De plus, on peut visualiser cela sur le graphique : la courbe de \( f \) est une parabole dont le sommet est au point \( (3, 1) \) et s'ouvre vers le haut. Tout point de la parabole à gauche de \( x=3 \) a un point correspondant à droite du même niveau, illustrant ainsi la symétrie par rapport à cette droite.