Question
Try It! 1. Identify the key features of the function \( f(x)=b^{x} \) for \( b=2 \) and \( b=\frac{1}{2} \).
Ask by Parry Hampton. in Saudi Arabia
Feb 04,2025
Real Tutor Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
### الخصائص الرئيسية للدالة \( f(x) = b^{x} \) عند \( b = 2 \) و \( b = \frac{1}{2} \)
#### 1. عند \( b = 2 \):
- **دالة متزايدة**: تزداد مع زيادة \( x \).
- **نقطة التقاطع مع محور \( y \)**: عند \( x = 0 \) هي \( (0, 1) \).
- **نطاق**: جميع الأعداد الحقيقية الموجبة \( (0, +\infty) \).
- **مجال التعريف**: جميع الأعداد الحقيقية \( (-\infty, +\infty) \).
- **المشتقة**: \( f'(x) = 2^{x} \ln(2) \) (موجبة، الدالة متزايدة).
- **التكامل**: \( \int 2^{x} dx = \frac{2^{x}}{\ln(2)} + C \).
#### 2. عند \( b = \frac{1}{2} \):
- **دالة متناقصة**: تنخفض مع زيادة \( x \).
- **نقطة التقاطع مع محور \( y \)**: عند \( x = 0 \) هي \( (0, 1) \).
- **نطاق**: جميع الأعداد الحقيقية الموجبة \( (0, +\infty) \).
- **مجال التعريف**: جميع الأعداد الحقيقية \( (-\infty, +\infty) \).
- **المشتقة**: \( f'(x) = -\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \ln(2) \) (سالبة، الدالة متناقصة).
- **التكامل**: \( \int \left(\frac{1}{2}\right)^{x} dx = -\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}{\ln(2)} + C \).
**مقارنة بين الدالتين:**
- عند \( b > 1 \): الدالة متزايدة.
- عند \( 0 < b < 1 \): الدالة متناقصة.
- كلا الدالتين تتقاطعان مع محور \( y \) عند \( (0, 1) \) وتقتربان من محور \( x \) (الخط \( y = 0 \)) عند \( x \) يذهب إلى اللانهاية أو السالب.
---
بهذه الطريقة، يمكن فهم الخصائص الأساسية لكل من الدالتين الأسيتين عند القيم المختلفة للأساس \( b \).
Solution
### تحديد الخصائص الرئيسية للدالة \( f(x) = b^{x} \) عند \( b = 2 \) و \( b = \frac{1}{2} \)
#### 1. الدالة الأسية \( f(x) = 2^{x} \)
**الخصائص الرئيسية:**
- **نمو الدالة:** الدالة \( 2^{x} \) دالة متزايدة، أي أنها تزداد مع زيادة قيمة \( x \).
- **نقطة التقاطع مع محور \( y \):** عند \( x = 0 \)، \( f(0) = 2^{0} = 1 \). إذًا، نقطة التقاطع هي \( (0, 1) \).
- **محور التماثل (الخط الأفقي الذي تقارب إليه الدالة):** الخط \( y = 0 \) (محور \( x \)) هو خط التقارب للدالة عند \( x \) يذهب إلى سالب اللانهاية.
- **النطاق (Range):** جميع الأعداد الحقيقية الموجبة، أي \( (0, +\infty) \).
- **مجال التعريف (Domain):** جميع الأعداد الحقيقية، أي \( (-\infty, +\infty) \).
- **التفاضل والتكامل:**
- **المشتقة:** \( f'(x) = 2^{x} \ln(2) \)، وهي موجبة في جميع نقاط \( x \)، مما يؤكد أن الدالة متزايدة دومًا.
- **التكامل:** \( \int 2^{x} dx = \frac{2^{x}}{\ln(2)} + C \).
**سلوك الدالة:**
- عندما \( x \) يذهب إلى \( +\infty \)، \( f(x) \) يذهب إلى \( +\infty \).
- عندما \( x \) يذهب إلى \( -\infty \)، \( f(x) \) يقترب من 0.
#### 2. الدالة الأسية \( f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \)
**الخصائص الرئيسية:**
- **نمو الدالة:** الدالة \( \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \) دالة متناقصة، أي أنها تنخفض مع زيادة قيمة \( x \).
- **نقطة التقاطع مع محور \( y \):** عند \( x = 0 \)، \( f(0) = \left(\frac{1}{2}\right)^{0} = 1 \). إذًا، نقطة التقاطع هي \( (0, 1) \).
- **محور التماثل (الخط الأفقي الذي تقارب إليه الدالة):** الخط \( y = 0 \) (محور \( x \)) هو خط التقارب للدالة عند \( x \) يذهب إلى \( +\infty \).
- **النطاق (Range):** جميع الأعداد الحقيقية الموجبة، أي \( (0, +\infty) \).
- **مجال التعريف (Domain):** جميع الأعداد الحقيقية، أي \( (-\infty, +\infty) \).
- **التفاضل والتكامل:**
- **المشتقة:** \( f'(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \ln(2) \)، وهي سالبة في جميع نقاط \( x \)، مما يؤكد أن الدالة متناقصة دومًا.
- **التكامل:** \( \int \left(\frac{1}{2}\right)^{x} dx = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)} + C = -\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}{\ln(2)} + C \).
**سلوك الدالة:**
- عندما \( x \) يذهب إلى \( +\infty \), \( f(x) \) يقترب من 0.
- عندما \( x \) يذهب إلى \( -\infty \), \( f(x) \) يذهب إلى \( +\infty \).
#### **مقارنة بين \( b = 2 \) و \( b = \frac{1}{2} \):**
- **الاتجاه العام:**
- \( b = 2 \): الدالة متزايدة.
- \( b = \frac{1}{2} \): الدالة متناقصة.
- **قيمة الأساس \( b \):**
- إذا كان \( b > 1 \): الدالة أسية متزايدة.
- إذا كان \( 0 < b < 1 \): الدالة أسية متناقصة.
- **النقطة المشتركة:**
- كلتا الدالتين تتقاطعان مع محور \( y \) عند النقطة \( (0, 1) \).
- **محور التقارب:**
- كلا الدالتين تقتربان من محور \( x \) (الخط \( y = 0 \)) عندما \( x \) يذهب إلى اللانهاية أو السالب، حسب اتجاه الدالة.
### **رسم بياني توضيحي:**
*ملاحظة: الرسم البياني يظهر دالتين متباينتين، واحدة متزايدة \( b = 2 \) والأخرى متناقصة \( b = \frac{1}{2} \).*
---
بهذه الطريقة، يمكن فهم الخصائص الأساسية لكل من الدالتين الأسيتين عند القيم المختلفة للأساس \( b \).
Reviewed and approved by the UpStudy tutoring team
Like
error msg
Explain 
Simplify this solution The Deep Dive
For the function \( f(x)=2^{x} \), its key features include rapid growth as \( x \) increases, with \( f(0)=1 \) being the y-intercept. The graph is always above the x-axis, indicating it never reaches zero, and as \( x \) approaches negative infinity, \( f(x) \) approaches zero but never touches it, showcasing an asymptotic behavior. Conversely, for \( f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \), this function represents exponential decay. Here, \( f(0)=1 \) is also the y-intercept, and as \( x \) increases, \( f(x) \) decreases towards zero, while remaining positive. It asymptotically approaches zero as \( x \) goes to positive infinity, highlighting the stark contrast to the growth seen in \( 2^{x} \).
