10 Simplifica $$ M=\frac{2^{-n+1} \cdot 4^{2 n+1}+8^{n+2}}{16\left(2^{n}\right)^{3}} $$

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$$
M=\frac{2^{-n+1} \cdot 4^{2n+1}+8^{n+2}}{16\left(2^{n}\right)^3}
$$

**Paso 1.** Expresar las potencias con base $$2$$.

Recordemos que:

$$
4=2^2 \quad \text{y} \quad 8=2^3,\quad 16=2^4.
$$

Entonces, reescribimos cada término:

- $$ 4^{2n+1}=(2^2)^{2n+1}=2^{4n+2} $$.
- $$ 8^{n+2}=(2^3)^{n+2}=2^{3n+6} $$.

**Paso 2.** Reemplazar en la expresión de $$M$$:

$$
M=\frac{2^{-n+1}\cdot 2^{4n+2}+2^{3n+6}}{2^4\cdot\left(2^{n}\right)^3}
$$

Para el denominador, tenemos:

$$
\left(2^n\right)^3=2^{3n},
$$

entonces:

$$
16\left(2^n\right)^3=2^4\cdot 2^{3n}=2^{3n+4}.
$$

**Paso 3.** Simplificar el numerador.

Combinar la multiplicación usando la propiedad de los exponentes:

$$
2^{-n+1}\cdot 2^{4n+2}=2^{(-n+1)+(4n+2)}=2^{3n+3}.
$$

Entonces, el numerador es:

$$
2^{3n+3}+2^{3n+6}.
$$

Se factoriza $$2^{3n+3}$$:

$$
2^{3n+3}+2^{3n+6}=2^{3n+3}\left(1+2^3\right)=2^{3n+3}\left(1+8\right)=9\cdot2^{3n+3}.
$$

**Paso 4.** Sustituir en la expresión original:

$$
M=\frac{9\cdot2^{3n+3}}{2^{3n+4}}.
$$

**Paso 5.** Simplificar la fracción dividiendo las potencias de $$2$$:

$$
\frac{2^{3n+3}}{2^{3n+4}}=2^{(3n+3)-(3n+4)}=2^{-1}=\frac{1}{2}.
$$

Por lo tanto,

$$
M=9\cdot\frac{1}{2}=\frac{9}{2}.
$$

La forma simplificada es:

$$
\boxed{\frac{9}{2}}.
$$
La expresión simplificada es $$ \frac{9}{2} $$.

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