Question
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\begin{tabular}{l} 1. Resuelva los siguientes ejercicios usando el tipo de factorización adecuada. \\ \begin{tabular}{ll} a) \( 25 x^{4} y^{3}-15 x^{2} \) & (1 punto) \\ b) \( 52 x^{4} y^{3} z-104 x^{2} y^{4} z^{2}-65 x^{2} y z \) & (1 punto) \\ c) \( 9 x^{2 n}-\frac{1}{49} \) & (1 punto) \\ d) \( 9 x^{2}+12 x y+4 y^{2} \) & (1 punto) \\ \( \begin{array}{l}\text { e) } 4 x^{2}+4 x-3 \\ \text { f) } 64 x^{15}-27 y^{9}\end{array} \) \\ \hline\end{tabular} \\ \hline\end{tabular}

Ask by Johnston Santiago. in Chile
Mar 11,2025

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Answer

1. a) \( 5x^2(5x^2y^3 - 3) \) 2. b) \( 13x^2yz(4x^2y^2 - 8y^3z - 5) \) 3. c) \( (3x^n - \frac{1}{7})(3x^n + \frac{1}{7}) \) 4. d) \( (3x + 2y)^2 \) 5. e) \( (2x + 3)(2x - 1) \) 6. f) \( (4x^5 - 3y^3)(16x^{10} + 12x^5y^3 + 9y^6) \)

Solution

1. a) Factorización de \( 25x^4y^3-15x^2 \): Identificamos el factor común: \( 5x^2 \). \[ 25x^4y^3-15x^2=5x^2\left(5x^2y^3-3\right) \] 2. b) Factorización de \( 52x^4y^3z-104x^2y^4z^2-65x^2yz \): Identificamos el factor común \( 13x^2yz \). Dividiendo cada término: \[ \frac{52x^4y^3z}{13x^2yz}=4x^2y^2,\quad \frac{-104x^2y^4z^2}{13x^2yz}=-8y^3z,\quad \frac{-65x^2yz}{13x^2yz}=-5 \] Entonces, \[ 52x^4y^3z-104x^2y^4z^2-65x^2yz = 13x^2yz\left(4x^2y^2-8y^3z-5\right) \] 3. c) Factorización de \( 9x^{2n}-\frac{1}{49} \): Se trata de una diferencia de cuadrados. \[ 9x^{2n}=\left(3x^n\right)^2 \quad \text{y} \quad \frac{1}{49}=\left(\frac{1}{7}\right)^2 \] Por lo que: \[ 9x^{2n}-\frac{1}{49}=\left(3x^n-\frac{1}{7}\right)\left(3x^n+\frac{1}{7}\right) \] 4. d) Factorización de \( 9x^2+12xy+4y^2 \): Reconocemos un trinomio cuadrado perfecto: \[ 9x^2+12xy+4y^2=\left(3x+2y\right)^2 \] 5. e) Factorización de \( 4x^2+4x-3 \): Se busca multiplicar \( 4\) por \(-3\) dando \(-12\) y encontrar dos números que sumen \(4\): \[ 4x^2+6x-2x-3 \] Agrupamos: \[ (4x^2+6x)- (2x+3)=2x\left(2x+3\right)-1\left(2x+3\right) \] Factorizando: \[ 4x^2+4x-3=\left(2x+3\right)\left(2x-1\right) \] 6. f) Factorización de \( 64x^{15}-27y^9 \): Rescribimos como una diferencia de cubos: \[ 64x^{15}=\left(4x^5\right)^3,\quad 27y^9=\left(3y^3\right)^3 \] Aplicamos la fórmula: \[ a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right) \] Con \( a=4x^5 \) y \( b=3y^3 \): \[ 64x^{15}-27y^9=\left(4x^5-3y^3\right)\left[\left(4x^5\right)^2+4x^5\left(3y^3\right)+\left(3y^3\right)^2\right] \] Simplificando: \[ \left(4x^5\right)^2=16x^{10},\quad 4x^5\left(3y^3\right)=12x^5y^3,\quad \left(3y^3\right)^2=9y^6 \] Por lo tanto: \[ 64x^{15}-27y^9=\left(4x^5-3y^3\right)\left(16x^{10}+12x^5y^3+9y^6\right) \]

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The Deep Dive

1. Cuando hablamos de factorización, es como hacer magia con números y variables. Por ejemplo, en el ejercicio (a), podemos sacar el factor común de \( x^{2} \) y notar que se puede simplificar \( 25 x^{2} y^{3} - 15 \) para expresar la parte en términos más manejables. Puedes jugar con los factores comunes, ¡es como encontrar el tesoro escondido en los números! 2. En cuanto al ejercicio (f), donde enfrentamos una diferencia de cubos, recuerda que la fórmula es \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \). Si lo identificas claramente, descomponer \( 64x^{15} \) y \( 27y^{9} \) será pan comido. No olvides revisar que los exponentes están correctamente asignados; ¡es como asegurarte de que todas las piezas del rompecabezas encajen a la perfección!

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