\begin{tabular}{l} 1. Resuelva los siguientes ejercicios usando el tipo de factorización adecuada. \\ \begin{tabular}{ll} a) \( 25 x^{4} y^{3}-15 x^{2} \) & (1 punto) \\ b) \( 52 x^{4} y^{3} z-104 x^{2} y^{4} z^{2}-65 x^{2} y z \) & (1 punto) \\ c) \( 9 x^{2 n}-\frac{1}{49} \) & (1 punto) \\ d) \( 9 x^{2}+12 x y+4 y^{2} \) & (1 punto) \\ \( \begin{array}{l}\text { e) } 4 x^{2}+4 x-3 \\ \text { f) } 64 x^{15}-27 y^{9}\end{array} \) \\ \hline\end{tabular} \\ \hline\end{tabular}

1. a) Factorización de \( 25x^4y^3-15x^2 \): Identificamos el factor común: \( 5x^2 \). \[ 25x^4y^3-15x^2=5x^2\left(5x^2y^3-3\right) \] 2. b) Factorización de \( 52x^4y^3z-104x^2y^4z^2-65x^2yz \): Identificamos el factor común \( 13x^2yz \). Dividiendo cada término: \[ \frac{52x^4y^3z}{13x^2yz}=4x^2y^2,\quad \frac{-104x^2y^4z^2}{13x^2yz}=-8y^3z,\quad \frac{-65x^2yz}{13x^2yz}=-5 \] Entonces, \[ 52x^4y^3z-104x^2y^4z^2-65x^2yz = 13x^2yz\left(4x^2y^2-8y^3z-5\right) \] 3. c) Factorización de \( 9x^{2n}-\frac{1}{49} \): Se trata de una diferencia de cuadrados. \[ 9x^{2n}=\left(3x^n\right)^2 \quad \text{y} \quad \frac{1}{49}=\left(\frac{1}{7}\right)^2 \] Por lo que: \[ 9x^{2n}-\frac{1}{49}=\left(3x^n-\frac{1}{7}\right)\left(3x^n+\frac{1}{7}\right) \] 4. d) Factorización de \( 9x^2+12xy+4y^2 \): Reconocemos un trinomio cuadrado perfecto: \[ 9x^2+12xy+4y^2=\left(3x+2y\right)^2 \] 5. e) Factorización de \( 4x^2+4x-3 \): Se busca multiplicar \( 4\) por \(-3\) dando \(-12\) y encontrar dos números que sumen \(4\): \[ 4x^2+6x-2x-3 \] Agrupamos: \[ (4x^2+6x)- (2x+3)=2x\left(2x+3\right)-1\left(2x+3\right) \] Factorizando: \[ 4x^2+4x-3=\left(2x+3\right)\left(2x-1\right) \] 6. f) Factorización de \( 64x^{15}-27y^9 \): Rescribimos como una diferencia de cubos: \[ 64x^{15}=\left(4x^5\right)^3,\quad 27y^9=\left(3y^3\right)^3 \] Aplicamos la fórmula: \[ a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right) \] Con \( a=4x^5 \) y \( b=3y^3 \): \[ 64x^{15}-27y^9=\left(4x^5-3y^3\right)\left[\left(4x^5\right)^2+4x^5\left(3y^3\right)+\left(3y^3\right)^2\right] \] Simplificando: \[ \left(4x^5\right)^2=16x^{10},\quad 4x^5\left(3y^3\right)=12x^5y^3,\quad \left(3y^3\right)^2=9y^6 \] Por lo tanto: \[ 64x^{15}-27y^9=\left(4x^5-3y^3\right)\left(16x^{10}+12x^5y^3+9y^6\right) \]