1. Ejercicios En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana- licen si se le puede asignar un valor y, cuando corresponda, indiquen cuál es ese valor. \( \begin{array}{llll}\text { a) } \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} d x & \text { b) } \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} d x & \text { c) } \int_{0}^{+\infty} e^{-x} d x & \text { d) } \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x\end{array} \)

1. **Inciso a)** La integral \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}\, dx \] es impropia porque el intervalo de integración es infinito, es decir, el límite superior es \(+\infty\). Para asignarle un valor, se define como el límite \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}\, dx = \lim_{b\to+\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x}\, dx. \] La integral indefinida de \(\frac{1}{x}\) es \(\ln |x|\). Entonces, \[ \int_{1}^{b}\frac{1}{x}\, dx = \ln(b) - \ln(1) = \ln(b). \] Al tomar el límite, \[ \lim_{b\to+\infty} \ln(b) = +\infty, \] por lo que la integral diverge y no se le asigna un valor finito. --- 2. **Inciso b)** La integral \[ \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^2}\, dx \] es impropia porque el límite inferior de integración es \(-\infty\). Aunque la función \(\frac{1}{(x-1)^2}\) tiene una singularidad en \(x=1\), esta no afecta la integral ya que el intervalo de integración es \((-\infty,0]\), y \(1\) no pertenece a este intervalo. Para evaluarla, se escribe en forma de límite: \[ \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^2}\, dx = \lim_{a\to -\infty} \int_{a}^{0}\frac{1}{(x-1)^2}\, dx. \] La integral indefinida es: \[ \int \frac{1}{(x-1)^2}\, dx = -\frac{1}{x-1} + C. \] Evaluando entre \(a\) y \(0\): \[ \int_{a}^{0}\frac{1}{(x-1)^2}\, dx = \left[-\frac{1}{x-1}\right]_{x=a}^{x=0} = \left(-\frac{1}{0-1}\right) - \left(-\frac{1}{a-1}\right). \] Se tiene: \[ -\frac{1}{0-1} = -\frac{1}{-1} = 1, \] y \[ -\left(-\frac{1}{a-1}\right) = \frac{1}{a-1}. \] Por lo tanto, \[ \int_{a}^{0}\frac{1}{(x-1)^2}\, dx = 1 + \frac{1}{a-1}. \] Al tomar el límite cuando \(a\to -\infty\), \[ \lim_{a\to -\infty} \frac{1}{a-1} = 0, \] luego, \[ \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^2}\, dx = 1. \] --- 3. **Inciso c)** La integral \[ \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\, dx \] es impropia porque el intervalo de integración es infinito. Se define como: \[ \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\, dx = \lim_{b\to+\infty}\int_{0}^{b} e^{-x}\, dx. \] La integral indefinida de \(e^{-x}\) es: \[ \int e^{-x}\, dx = -e^{-x}+C. \] Evaluando entre \(0\) y \(b\), \[ \int_{0}^{b} e^{-x}\, dx = \left[-e^{-x}\right]_{0}^{b} = -e^{-b} + e^{0} = 1 - e^{-b}. \] Al tomar el límite cuando \(b\to+\infty\), \[ \lim_{b\to+\infty}(1 - e^{-b}) = 1 - 0 = 1. \] Por lo tanto, la integral converge y su valor es \(1\). --- 4. **Inciso d)** La integral \[ \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2}\, dx \] es impropia por tener ambos límites extendiéndose al infinito. Sin embargo, se puede analizar la función integrando: Observamos que \(x e^{-x^2}\) es una función impar, ya que \(e^{-x^2}\) es par y \(x\) es impar. Recordando que la integral de una función impar sobre un intervalo simétrico respecto al origen es \(0\), tenemos: \[ \int_{-A}^{A} x e^{-x^2}\, dx = 0 \quad \text{para todo } A>0. \] Por lo tanto, al tomar el límite: \[ \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2}\, dx = \lim_{A\to+\infty} \int_{-A}^{A} x e^{-x^2}\, dx = 0. \] Esta integral converge y su valor es \(0\).