1. Ejercicios En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana- licen si se le puede asignar un valor y, cuando corresponda, indiquen cuál es ese valor. $$ \begin{array}{llll} ext { a) } \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} d x & ext { b) } \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} d x & ext { c) } \int_{0}^{+\infty} e^{-x} d x & ext { d) } \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x\end{array} $$

Question

1. Ejercicios En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana- licen si se le puede asignar un valor y, cuando corresponda, indiquen cuál es ese valor. $$ \begin{array}{llll}	ext { a) } \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} d x & 	ext { b) } \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} d x & 	ext { c) } \int_{0}^{+\infty} e^{-x} d x & 	ext { d) } \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x\end{array} $$

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1. **Inciso a)**  
La integral  
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}\, dx
$$  
es impropia porque el intervalo de integración es infinito, es decir, el límite superior es $$+\infty$$. Para asignarle un valor, se define como el límite  
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}\, dx = \lim_{b\to+\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x}\, dx.
$$  
La integral indefinida de $$\frac{1}{x}$$ es $$\ln |x|$$. Entonces,  
$$
\int_{1}^{b}\frac{1}{x}\, dx = \ln(b) - \ln(1) = \ln(b).
$$  
Al tomar el límite,  
$$
\lim_{b\to+\infty} \ln(b) = +\infty,
$$  
por lo que la integral diverge y no se le asigna un valor finito.

---

2. **Inciso b)**  
La integral  
$$
\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^2}\, dx
$$  
es impropia porque el límite inferior de integración es $$-\infty$$. Aunque la función $$\frac{1}{(x-1)^2}$$ tiene una singularidad en $$x=1$$, esta no afecta la integral ya que el intervalo de integración es $$(-\infty,0]$$, y $$1$$ no pertenece a este intervalo.

Para evaluarla, se escribe en forma de límite:
$$
\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^2}\, dx = \lim_{a\to -\infty} \int_{a}^{0}\frac{1}{(x-1)^2}\, dx.
$$

La integral indefinida es:
$$
\int \frac{1}{(x-1)^2}\, dx = -\frac{1}{x-1} + C.
$$

Evaluando entre $$a$$ y $$0$$:
$$
\int_{a}^{0}\frac{1}{(x-1)^2}\, dx = \left[-\frac{1}{x-1}\right]_{x=a}^{x=0} = \left(-\frac{1}{0-1}\right) - \left(-\frac{1}{a-1}\right).
$$

Se tiene:
$$
-\frac{1}{0-1} = -\frac{1}{-1} = 1,
$$
y
$$
-\left(-\frac{1}{a-1}\right) = \frac{1}{a-1}.
$$

Por lo tanto,
$$
\int_{a}^{0}\frac{1}{(x-1)^2}\, dx = 1 + \frac{1}{a-1}.
$$

Al tomar el límite cuando $$a\to -\infty$$,
$$
\lim_{a\to -\infty} \frac{1}{a-1} = 0,
$$
luego,
$$
\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^2}\, dx = 1.
$$

---

3. **Inciso c)**  
La integral  
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-x}\, dx
$$  
es impropia porque el intervalo de integración es infinito. Se define como:
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-x}\, dx = \lim_{b\to+\infty}\int_{0}^{b} e^{-x}\, dx.
$$

La integral indefinida de $$e^{-x}$$ es:
$$
\int e^{-x}\, dx = -e^{-x}+C.
$$

Evaluando entre $$0$$ y $$b$$,
$$
\int_{0}^{b} e^{-x}\, dx = \left[-e^{-x}\right]_{0}^{b} = -e^{-b} + e^{0} = 1 - e^{-b}.
$$

Al tomar el límite cuando $$b\to+\infty$$,
$$
\lim_{b\to+\infty}(1 - e^{-b}) = 1 - 0 = 1.
$$

Por lo tanto, la integral converge y su valor es $$1$$.

---

4. **Inciso d)**  
La integral  
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2}\, dx
$$  
es impropia por tener ambos límites extendiéndose al infinito. Sin embargo, se puede analizar la función integrando: Observamos que $$x e^{-x^2}$$ es una función impar, ya que $$e^{-x^2}$$ es par y $$x$$ es impar. Recordando que la integral de una función impar sobre un intervalo simétrico respecto al origen es $$0$$, tenemos:
$$
\int_{-A}^{A} x e^{-x^2}\, dx = 0 \quad \text{para todo } A>0.
$$

Por lo tanto, al tomar el límite:
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2}\, dx = \lim_{A\to+\infty} \int_{-A}^{A} x e^{-x^2}\, dx = 0.
$$

Esta integral converge y su valor es $$0$$.
1. **Inciso a)** La integral $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}\, dx $$ es impropia porque el límite superior es $$+\infty$$. Su valor es infinito. --- 2. **Inciso b)** La integral $$ \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^2}\, dx $$ es impropia por el límite inferior $$-\infty$$. Su valor es $$1$$. --- 3. **Inciso c)** La integral $$ \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\, dx $$ es impropia por el límite superior $$+\infty$$. Su valor es $$1$$. --- 4. **Inciso d)** La integral $$ \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2}\, dx $$ es impropia por los límites $$-\infty$$ y $$+\infty$$. Su valor es $$0$$.

Ejercicios
En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana-
licen si se le puede asignar un valor y, cuando corresponda, indiquen
cuál es ese valor.

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