O que é uma dilatação em geometria e como ela altera as figuras?

A dilatação em geometria é uma transformação que altera o tamanho de uma figura, mas mantém a sua forma. Essa transformação é caracterizada por um ponto fixo, chamado de centro de dilatação, e um fator de escala, que determina o quanto a figura será ampliada ou reduzida. ### Como funciona a dilatação: 1. **Centro de Dilatação**: É o ponto em torno do qual a figura será dilatada. Pode ser um ponto dentro da figura, fora dela ou até mesmo em um dos vértices. 2. **Fator de Escala**: É um número que indica o quanto a figura será ampliada ou reduzida. Se o fator de escala for maior que 1, a figura será ampliada. Se for menor que 1, a figura será reduzida. Um fator de escala igual a 1 significa que a figura não sofrerá alteração. ### Efeitos da Dilatação: - **Tamanhos**: As dimensões da figura (comprimento, largura, altura) são multiplicadas pelo fator de escala. Por exemplo, se uma figura tem um comprimento de 2 unidades e o fator de escala é 3, o novo comprimento será \(2 \times 3 = 6\) unidades. - **Proporções**: As proporções entre as partes da figura permanecem as mesmas. Isso significa que, mesmo que a figura mude de tamanho, a relação entre suas dimensões não se altera. - **Posição**: A posição da figura em relação ao centro de dilatação pode mudar, mas a forma geral da figura (triângulos, quadrados, círculos, etc.) permanece inalterada. ### Exemplo: Se considerarmos um triângulo com vértices em \(A(1, 2)\), \(B(3, 4)\) e \(C(5, 2)\) e aplicarmos uma dilatação com centro em \(O(0, 0)\) e fator de escala \(k = 2\), os novos vértices \(A', B', C'\) serão calculados da seguinte forma: - \(A' = (2 \cdot 1, 2 \cdot 2) = (2, 4)\) - \(B' = (2 \cdot 3, 2 \cdot 4) = (6, 8)\) - \(C' = (2 \cdot 5, 2 \cdot 2) = (10, 4)\) Assim, o triângulo dilatado terá os vértices \(A'(2, 4)\), \(B'(6, 8)\) e \(C'(10, 4)\), mantendo a mesma forma, mas com um tamanho maior. Em resumo, a dilatação é uma transformação que altera o tamanho de uma figura, mantendo sua forma e proporções, e é definida por um centro e um fator de escala.