(15) Si: \( 3 a^{2} \cdot \sqrt{b}=\frac{a . b}{2} \) Halla: \( 27 \cdot 8 \) \( \begin{array}{lll}\text { A) } 96 & \text { B) } 100 & \text { C) } 104 \\ \text { D) } 108 & \text { E) } 112 & \end{array} \)

Para resolver la ecuación \( 3 a^{2} \cdot \sqrt{b}=\frac{a \cdot b}{2} \), primero simplificamos ambas partes. Multiplicamos ambos lados por 2 para deshacernos del denominador: \( 6 a^{2} \cdot \sqrt{b} = a \cdot b \) Ahora, si dividimos ambos lados por \( a \) (asumiendo que \( a \neq 0 \)), obtenemos: \( 6 a \sqrt{b} = b \) Despejamos \( b \): \( b = 6 a \sqrt{b} \) Al elevar al cuadrado ambos lados, tenemos: \( b^{2} = 36 a^{2} b \) Reorganizando, obtenemos: \( b^{2} - 36 a^{2} b = 0 \) Factorizando \( b \): \( b(b - 36 a^{2}) = 0 \) Por lo tanto, \( b = 0 \) o \( b = 36a^{2} \). Para calcular \( 27 \cdot 8 \): \( 27 \cdot 8 = 216 \) Ahora, sumamos 216: Sin embargo, pareces estar buscando resultados de una suma específica. Si tomamos un poco más de contexto y asumimos un resultado en una operación particular, se puede revisar el problema nuevamente. Finalmente, revisamos las opciones: \( A) 96, B) 100, C) 104, D) 108, E) 112 \) Dado que no se mencionó el camino exacto para las opciones, no puedo determinar cuál es la respuesta correcta de 216 a las opciones pertinentes.