Ejercicio 2. Para la funcion $$ f(x)=\sqrt{x} $$ (a) (10 punios) Detomina el polinomio de Taylor de segundo orden en $$ x_{0}=4 $$.

Question

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Determinamos el polinomio de Taylor de segundo orden para la función $$ f(x)=\sqrt{x} $$ centrado en $$ x_0=4 $$.

1. Calcular $$ f(4) $$:
$$
f(4)=\sqrt{4}=2
$$

2. Calcular la primera derivada $$ f'(x) $$ y evaluarla en $$ x=4 $$:
$$
f(x)=x^{1/2} \quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
$$
$$
f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{2\cdot2}=\frac{1}{4}
$$

3. Calcular la segunda derivada $$ f''(x) $$ y evaluarla en $$ x=4 $$:
$$
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2} \quad\Rightarrow\quad f''(x)=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2}=-\frac{1}{4}x^{-3/2}
$$
$$
f''(4)=-\frac{1}{4}\cdot 4^{-3/2}=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{(4^{3/2})}
$$
Recordamos que:
$$
4^{3/2}=(\sqrt{4})^3=2^3=8
$$
Así,
$$
f''(4)=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{8}=-\frac{1}{32}
$$

4. Escribir el polinomio de Taylor de segundo orden:
$$
P_2(x)=f(4)+f'(4)(x-4)+\frac{1}{2}f''(4)(x-4)^2
$$
Sustituyendo los valores hallados:
$$
P_2(x)=2+\frac{1}{4}(x-4)+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{32}\right)(x-4)^2
$$
Simplificamos:
$$
P_2(x)=2+\frac{1}{4}(x-4)-\frac{1}{64}(x-4)^2
$$

Este es el polinomio de Taylor de segundo orden para $$ f(x)=\sqrt{x} $$ centrado en $$ x_0=4 $$.
El polinomio de Taylor de segundo orden para $$ f(x)=\sqrt{x} $$ centrado en $$ x_0=4 $$ es: $$ P_2(x) = 2 + \frac{1}{4}(x-4) - \frac{1}{64}(x-4)^2 $$

Ejercicio 2. Para la funcion \( f(x)=\sqrt{x} \) (a) (10 punios) Detomina el polinomio de Taylor de segundo orden en \( x_{0}=4 \).

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