Se tienen dos vectores \( P=9 \mathrm{~N} \) Oeste y \( Q=13 \mathrm{~N} 40^{\circ} \). ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector \( P+(-Q) \) ? Seleccione una: a. \( P+(-Q)=8,4 \mathrm{~N} 83,5^{\circ} \) b. \( P+(-Q)=8,4 \mathrm{~N} 83,5^{\circ} \) SurOeste c. \( P+(-Q)=20,7 \mathrm{~N} 16,22^{\circ} \) d. \( P+(-Q)=15,8 \mathrm{~N} 55,3^{\circ} \) SurOeste e. \( P+(-Q)=20,7 \mathrm{~N} 23,8^{\circ} \) SurOeste

Consideramos un sistema de coordenadas con eje \(x\) positivo hacia el Este y eje \(y\) positivo hacia el Norte. 1. El vector \( P \) es \(9\ \mathrm{N}\) hacia el Oeste, por lo que sus componentes son \[ P_x = -9,\qquad P_y = 0. \] 2. Se interpreta que el vector \( Q \) es de \(13\ \mathrm{N}\) a \(40^\circ\) respecto del Este (es decir, \(40^\circ\) al Norte del Este). Sus componentes son \[ Q_x = 13\cos40^\circ,\qquad Q_y = 13\sin40^\circ. \] 3. El vector \(-Q\) es el opuesto a \(Q\), por lo que sus componentes son \[ (-Q)_x = -13\cos40^\circ,\qquad (-Q)_y = -13\sin40^\circ. \] 4. Sumamos \(P\) y \(-Q\): \[ (P+(-Q))_x = (-9) + \left[-13\cos40^\circ\right] = -9 - 13\cos40^\circ, \] \[ (P+(-Q))_y = 0 + \left[-13\sin40^\circ\right] = -13\sin40^\circ. \] 5. Se usan las aproximaciones numéricas \(\cos40^\circ \approx 0.7660\) y \(\sin40^\circ \approx 0.6428\). Entonces, \[ (P+(-Q))_x \approx -9 - 13(0.7660) \approx -9 - 9.958 \approx -18.958, \] \[ (P+(-Q))_y \approx -13(0.6428) \approx -8.356. \] 6. La magnitud del vector resultante es \[ \|P+(-Q)\| = \sqrt{(-18.958)^2 + (-8.356)^2} \approx \sqrt{359.4 + 69.8} \approx \sqrt{429.2} \approx 20.7\ \mathrm{N}. \] 7. Para determinar su dirección, hallamos el ángulo \(\theta\) dado por \[ \theta = \arctan\left(\frac{|(P+(-Q))_y|}{| (P+(-Q))_x|}\right) \approx \arctan\left(\frac{8.356}{18.958}\right) \approx 23.8^\circ. \] Dado que ambos componentes son negativas, el vector se encuentra en el tercer cuadrante, es decir, en dirección Sur-Oeste. La dirección se expresa como \(23.8^\circ\) Sur de Oeste. Por lo tanto, se concluye que \[ P+(-Q)=20.7\ \mathrm{N}\ 23.8^\circ\ \text{SurOeste}. \] La respuesta correcta es la opción e.