Se tienen dos vectores $$ P=9 \mathrm{~N} $$ Oeste y $$ Q=13 \mathrm{~N} 40^{\circ} $$. ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector $$ P+(-Q) $$ ? Seleccione una: a. $$ P+(-Q)=8,4 \mathrm{~N} 83,5^{\circ} $$ b. $$ P+(-Q)=8,4 \mathrm{~N} 83,5^{\circ} $$ SurOeste c. $$ P+(-Q)=20,7 \mathrm{~N} 16,22^{\circ} $$ d. $$ P+(-Q)=15,8 \mathrm{~N} 55,3^{\circ} $$ SurOeste e. $$ P+(-Q)=20,7 \mathrm{~N} 23,8^{\circ} $$ SurOeste

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Consideramos un sistema de coordenadas con eje $$x$$ positivo hacia el Este y eje $$y$$ positivo hacia el Norte.

1. El vector $$ P $$ es $$9\ \mathrm{N}$$ hacia el Oeste, por lo que sus componentes son  
   $$
   P_x = -9,\qquad P_y = 0.
   $$

2. Se interpreta que el vector $$ Q $$ es de $$13\ \mathrm{N}$$ a $$40^\circ$$ respecto del Este (es decir, $$40^\circ$$ al Norte del Este). Sus componentes son  
   $$
   Q_x = 13\cos40^\circ,\qquad Q_y = 13\sin40^\circ.
   $$

3. El vector $$-Q$$ es el opuesto a $$Q$$, por lo que sus componentes son  
   $$
   (-Q)_x = -13\cos40^\circ,\qquad (-Q)_y = -13\sin40^\circ.
   $$

4. Sumamos $$P$$ y $$-Q$$:  
   $$
   (P+(-Q))_x = (-9) + \left[-13\cos40^\circ\right] = -9 - 13\cos40^\circ,
   $$
   $$
   (P+(-Q))_y = 0 + \left[-13\sin40^\circ\right] = -13\sin40^\circ.
   $$

5. Se usan las aproximaciones numéricas  
   $$\cos40^\circ \approx 0.7660$$ y $$\sin40^\circ \approx 0.6428$$.  
   Entonces,  
   $$
   (P+(-Q))_x \approx -9 - 13(0.7660) \approx -9 - 9.958 \approx -18.958,
   $$
   $$
   (P+(-Q))_y \approx -13(0.6428) \approx -8.356.
   $$

6. La magnitud del vector resultante es  
   $$
   \|P+(-Q)\| = \sqrt{(-18.958)^2 + (-8.356)^2} \approx \sqrt{359.4 + 69.8} \approx \sqrt{429.2} \approx 20.7\ \mathrm{N}.
   $$

7. Para determinar su dirección, hallamos el ángulo $$\theta$$ dado por  
   $$
   \theta = \arctan\left(\frac{|(P+(-Q))_y|}{| (P+(-Q))_x|}\right) \approx \arctan\left(\frac{8.356}{18.958}\right) \approx 23.8^\circ.
   $$
   Dado que ambos componentes son negativas, el vector se encuentra en el tercer cuadrante, es decir, en dirección Sur-Oeste. La dirección se expresa como $$23.8^\circ$$ Sur de Oeste.

Por lo tanto, se concluye que  
$$
P+(-Q)=20.7\ \mathrm{N}\ 23.8^\circ\ \text{SurOeste}.
$$

La respuesta correcta es la opción e.
La magnitud del vector $$ P+(-Q) $$ es $$ 20.7\ \mathrm{N} $$ y su dirección es $$ 23.8^\circ $$ SurOeste.

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