5. Racionaliza cada expresión. \( \begin{array}{ll}\text { a. } \frac{4 a b}{\sqrt[3]{x^{2} y^{3} z^{3} b}} & \text { b. } \frac{h}{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}} \\ \text { c. } \frac{m^{3} n \sqrt{x}}{\sqrt[5]{2^{4} m^{7} n^{6} x}} & \text { d. } \frac{\sqrt{m+1}}{1-\sqrt{m+1}} \\ \text { e. } \frac{3 a b^{2}}{\sqrt{a b^{5}}} & \text { f. } \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}-x} \\ \text { g. } \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} & \text { h. } \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}-\sqrt{2}}\end{array} \)

**a)** Dada la expresión \[ \frac{4ab}{\sqrt[3]{x^{2}y^{3}z^{3}b}}, \] observamos que dentro de la raíz cúbica ya se tienen \(y^3\) y \(z^3\) que son cubos perfectos, pero en el factor \(x^2b\) falta que los exponentes sean múltiplos de 3. Es decir, en el caso de \(x\) falta \(x\) para obtener \(x^3\) y en el de \(b\) falta \(b^2\) para obtener \(b^3\). Multiplicamos numerador y denominador por \[ \sqrt[3]{x\,b^{2}}, \] de modo que: \[ \frac{4ab}{\sqrt[3]{x^{2}y^{3}z^{3}b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x\,b^{2}}}{\sqrt[3]{x\,b^{2}}} = \frac{4ab\,\sqrt[3]{x\,b^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}b\,\cdot\,x\,b^{2}}\,\sqrt[3]{y^{3}z^{3}}}. \] Nótese que \[ \sqrt[3]{x^{2}b\,\cdot\,x\,b^{2}} = \sqrt[3]{x^{3}b^{3}} = xb, \] y \[ \sqrt[3]{y^{3}z^{3}} = yz. \] Por lo tanto, la expresión se transforma en: \[ \frac{4ab\,\sqrt[3]{x\,b^{2}}}{(xb)(yz)} = \frac{4a\,\sqrt[3]{x\,b^{2}}}{xyz}. \] --- **b)** Empezamos con \[ \frac{h}{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}. \] Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado: \[ \sqrt{x+h}+\sqrt{x}, \] lo que nos da: \[ \frac{h \left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}. \] El denominador se simplifica usando la diferencia de cuadrados: \[ (\sqrt{x+h})^2-(\sqrt{x})^2 = (x+h)-x = h. \] Cancelamos el factor \(h\): \[ \sqrt{x+h}+\sqrt{x}. \] --- **c)** Tenemos \[ \frac{m^3 n \sqrt{x}}{\sqrt[5]{2^4 m^7 n^6 x}}. \] Escribimos el denominador dentro de la raíz quíntuple como: \[ \sqrt[5]{2^{4}m^{7}n^{6}x}. \] Para eliminar la raíz, se necesita que los exponentes sean múltiplos de 5. Analizamos cada factor: - Para el \(2\): actualmente es \(2^4\); falta un \(2\) para obtener \(2^5\). - Para \(m\): tenemos \(m^7\); \(7\) módulo \(5\) es \(2\), por lo que se necesita \(m^3\) para obtener \(m^{10}\). - Para \(n\): tenemos \(n^6\); \(6\) módulo \(5\) es \(1\), se requiere \(n^4\) para obtener \(n^{10}\). - Para \(x\): contamos con \(x^1\); falta \(x^4\) para llegar a \(x^5\). Multiplicamos numerador y denominador por \[ \sqrt[5]{2\,m^3\,n^4\,x^4}. \] De esta forma, el denominador se convierte en: \[ \sqrt[5]{2^{4}m^{7}n^{6}x}\cdot\sqrt[5]{2\,m^3\,n^4\,x^4} = \sqrt[5]{2^{5}m^{10}n^{10}x^5} = 2\,m^2\,n^2\,x. \] La fracción se transforma en: \[ \frac{m^3 n \sqrt{x}\,\sqrt[5]{2\,m^3\,n^4\,x^4}}{2\,m^2\,n^2\,x}. \] Simplificamos: - En \(m\): \(\frac{m^3}{m^2} = m\). - En \(n\): \(\frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}\). - En \(x\): \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) y \(x = x^{1}\) se reduce a \(\frac{1}{x^{1/2}}\). Quedando: \[ \frac{m\,\sqrt[5]{2\,m^{3}\,n^{4}\,x^{4}}}{2\,n\,\sqrt{x}}. \] --- **d)** Partimos de \[ \frac{\sqrt{m+1}}{1-\sqrt{m+1}}. \] Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador: \[ 1+\sqrt{m+1}, \] obteniendo: \[ \frac{\sqrt{m+1}(1+\sqrt{m+1})}{(1-\sqrt{m+1})(1+\sqrt{m+1})}. \] El denominador se simplifica: \[ 1-(m+1)= -m. \] Por lo tanto: \[ -\frac{\sqrt{m+1}(1+\sqrt{m+1})}{m}. \] --- **e)** Consideramos la expresión \[ \frac{3ab^2}{\sqrt{ab^5}}. \] Separamos la raíz del producto: \[ \sqrt{ab^5}=\sqrt{a}\sqrt{b^5}=\sqrt{a}\,b^{5/2}. \] Así, la fracción es: \[ \frac{3ab^2}{\sqrt{a}\,b^{5/2}} = \frac{3a}{\sqrt{a}} \cdot \frac{b^2}{b^{5/2}}. \] Notamos que: \[ \frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a} \quad \text{y} \quad \frac{b^2}{b^{5/2}}=b^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{b}}. \] Por lo que la expresión queda: \[ \frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{b}}. \] Si se desea eliminar la raíz del denominador, se multiplica por \(\sqrt{b}\): \[ \frac{3\sqrt{a}\sqrt{b}}{b}=\frac{3\sqrt{ab}}{b}. \] --- **f)** Dada la expresión \[ \frac{x}{\sqrt{x