Ejercicio 19 Calcular el ángulo interno \( A \) del paralelogramo, cuyos vértices son los puntos \( A(1,1), B(3,5), C(11,6) \) y \( D(9,2) \). Graficar.

Para calcular el ángulo interno \( A \) del paralelogramo formado por los vértices \( A(1,1) \), \( B(3,5) \), \( C(11,6) \) y \( D(9,2) \), primero debemos encontrar los vectores \( \vec{AB} \) y \( \vec{AD} \). Los vectores se calculan así: \[ \vec{AB} = B - A = (3-1, 5-1) = (2, 4) \] \[ \vec{AD} = D - A = (9-1, 2-1) = (8, 1) \] Luego, usamos la fórmula del producto punto para encontrar el coseno del ángulo \( A \): \[ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = |AB| |AD| \cos(A) \] Calculamos el módulo de los vectores: \[ |AB| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] \[ |AD| = \sqrt{8^2 + 1^2} = \sqrt{65} \] El producto punto es: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 2 \cdot 8 + 4 \cdot 1 = 16 + 4 = 20 \] Ahora, podemos usar la fórmula para encontrar \( \cos(A) \): \[ \cos(A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AD}}{|AB| |AD|} = \frac{20}{(2\sqrt{5})(\sqrt{65})} \] Calculamos el término del denominador: \[ |AB| |AD| = 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{65} = 2\sqrt{325} \] Multiplicamos \( 2\sqrt{325} \): \[ \cos(A) = \frac{20}{2\sqrt{325}} = \frac{10}{\sqrt{325}} \approx \frac{10}{18.03} \approx 0.5547 \] Finalmente, usando la calculadora, encontramos el ángulo: \[ A \approx \cos^{-1}(0.5547) \approx 56.53^\circ \] ¡Y ahí tienes el ángulo interno \( A \) aproximado! Para graficar el paralelogramo, coloca los puntos \( A(1,1) \), \( B(3,5) \), \( C(11,6) \), y \( D(9,2) \) en un plano cartesiano, luego traza las líneas que los conecten en el orden correcto para visualizar la forma del paralelogramo.