12. Dados los conjuntos unitarios: $$ A=\{90 ; a \cdot b\} $$ $$ B=\{23 ; a+b\} $$ Hallar: $$ a-b $$

Question

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Para resolver el problema, primero identificamos los elementos de los conjuntos $$ A $$ y $$ B $$:

- $$ A = \{90 ; a \cdot b\} $$
- $$ B = \{23 ; a + b\} $$

Dado que ambos conjuntos son unitarios, podemos deducir que:

1. $$ a \cdot b = 90 $$
2. $$ a + b = 23 $$

Ahora tenemos un sistema de ecuaciones que podemos resolver para encontrar los valores de $$ a $$ y $$ b $$.

Las ecuaciones son:

1. $$ ab = 90 $$  (Ecuación 1)
2. $$ a + b = 23 $$  (Ecuación 2)

Usaremos la Ecuación 2 para expresar $$ b $$ en términos de $$ a $$:

$$
b = 23 - a
$$

Ahora sustituimos $$ b $$ en la Ecuación 1:

$$
a(23 - a) = 90
$$

Desarrollamos la ecuación:

$$
23a - a^2 = 90
$$

Reorganizamos la ecuación:

$$
a^2 - 23a + 90 = 0
$$

Ahora resolveremos esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula general $$ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$, donde $$ a = 1 $$, $$ b = -23 $$, y $$ c = 90 $$.

Primero, calculamos el discriminante:

$$
D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90
$$

Ahora, calculamos $$ D $$:
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\left(-23\right)^{2}-4\times 1\times 90$$
- step1: Multiply the terms:
  $$\left(-23\right)^{2}-360$$
- step2: Simplify:
  $$23^{2}-360$$
- step3: Evaluate the power:
  $$529-360$$
- step4: Subtract the numbers:
  $$169$$
El discriminante $$ D $$ es $$ 169 $$.

Ahora, aplicamos la fórmula cuadrática:

$$
a = \frac{-(-23) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{23 \pm 13}{2}
$$

Calculamos las dos posibles soluciones para $$ a $$:

1. $$ a_1 = \frac{23 + 13}{2} = \frac{36}{2} = 18 $$
2. $$ a_2 = \frac{23 - 13}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$

Ahora, usando $$ a $$ para encontrar $$ b $$:

- Si $$ a = 18 $$:
  $$
  b = 23 - 18 = 5
  $$

- Si $$ a = 5 $$:
  $$
  b = 23 - 5 = 18
  $$

Por lo tanto, tenemos dos pares de soluciones: $$ (a, b) = (18, 5) $$ y $$ (a, b) = (5, 18) $$.

Finalmente, para hallar $$ a - b $$:

1. Si $$ a = 18 $$ y $$ b = 5 $$:
   $$
   a - b = 18 - 5 = 13
   $$

2. Si $$ a = 5 $$ y $$ b = 18 $$:
   $$
   a - b = 5 - 18 = -13
   $$

Por lo tanto, los resultados posibles para $$ a - b $$ son $$ 13 $$ y $$ -13 $$.
$$ a - b = 13 $$ o $$ a - b = -13 $$.

Dados los conjuntos unitarios:

Hallar:

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