$$ \left.\begin{array}{l} ext { Eavaciones Expomeciales. } \ \left.\begin{array}{l}\left(a^{2}+2 a b+b^{2} ight)=(a+b)^{2 x} \ 128^{\frac{1}{x}}=1 \ 2^{x-y}=2 \ 16^{y}=32^{x}\end{array} ight\} \ 25^{x-3}=1 \ p^{x-y}=p^{2}\end{array} ight\} $$

Question

$$ \left.\begin{array}{l}	ext { Eavaciones Expomeciales. } \ \left.\begin{array}{l}\left(a^{2}+2 a b+b^{2}ight)=(a+b)^{2 x} \ 128^{\frac{1}{x}}=1 \ 2^{x-y}=2 \ 16^{y}=32^{x}\end{array}ight\} \ 25^{x-3}=1 \ p^{x-y}=p^{2}\end{array}ight\} $$

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Para resolver el sistema de ecuaciones exponenciales que has proporcionado, vamos a analizar cada ecuación paso a paso.

### Ecuaciones dadas:

1. $$ (a^2 + 2ab + b^2) = (a + b)^{2x} $$
2. $$ 128^{\frac{1}{x}} = 1 $$
3. $$ 2^{x - y} = 2 $$
4. $$ 16^{y} = 32^{x} $$
5. $$ 25^{x - 3} = 1 $$
6. $$ p^{x - y} = p^{2} $$

### Paso 1: Resolver la ecuación $$ 128^{\frac{1}{x}} = 1 $$

Para que $$ 128^{\frac{1}{x}} = 1 $$, el exponente debe ser cero, ya que cualquier número elevado a la potencia de cero es 1. Por lo tanto:

$$
\frac{1}{x} = 0 \implies x \to \infty
$$

Sin embargo, esto no es práctico. En este caso, podemos considerar que $$ x $$ no puede ser cero, así que esta ecuación no nos da un valor útil.

### Paso 2: Resolver la ecuación $$ 2^{x - y} = 2 $$

Sabemos que $$ 2^1 = 2 $$, por lo que:

$$
x - y = 1 \implies y = x - 1
$$

### Paso 3: Resolver la ecuación $$ 16^{y} = 32^{x} $$

Podemos reescribir $$ 16 $$ y $$ 32 $$ en términos de potencias de $$ 2 $$:

$$
16 = 2^4 \quad \text{y} \quad 32 = 2^5
$$

Por lo tanto, la ecuación se convierte en:

$$
(2^4)^{y} = (2^5)^{x} \implies 2^{4y} = 2^{5x}
$$

Igualando los exponentes:

$$
4y = 5x \implies y = \frac{5}{4}x
$$

### Paso 4: Sustitución de $$ y $$

Ahora sustituimos $$ y $$ en la ecuación $$ y = x - 1 $$:

$$
\frac{5}{4}x = x - 1
$$

Multiplicamos todo por $$ 4 $$ para eliminar la fracción:

$$
5x = 4x - 4
$$

Resolviendo para $$ x $$:

$$
5x - 4x = -4 \implies x = -4
$$

### Paso 5: Encontrar $$ y $$

Sustituyendo $$ x = -4 $$ en $$ y = x - 1 $$:

$$
y = -4 - 1 = -5
$$

### Paso 6: Resolver la ecuación $$ 25^{x - 3} = 1 $$

Para que $$ 25^{x - 3} = 1 $$, el exponente debe ser cero:

$$
x - 3 = 0 \implies x = 3
$$

### Paso 7: Resolver la ecuación $$ p^{x - y} = p^{2} $$

Igualando los exponentes:

$$
x - y = 2
$$

Sustituyendo $$ y = x - 1 $$:

$$
x - (x - 1) = 2 \implies 1 = 2
$$

Esto es una contradicción, lo que significa que no hay solución consistente para todas las ecuaciones.

### Resumen de resultados:

- $$ x = -4 $$ y $$ y = -5 $$ son soluciones para algunas ecuaciones, pero no para todas.
- La ecuación $$ 25^{x - 3} = 1 $$ sugiere que $$ x = 3 $$, lo que contradice el valor de $$ x $$ encontrado anteriormente.

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones no tiene una solución consistente.
No hay una solución consistente para todas las ecuaciones proporcionadas.

\( \left.\begin{array}{l}\text { Eavaciones Expomeciales. } \\ \left.\begin{array}{l}\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)=(a+b)^{2 x} \\ 128^{\frac{1}{x}}=1 \\ 2^{x-y}=2 \\ 16^{y}=32^{x}\end{array}\right\} \\ 25^{x-3}=1 \\ p^{x-y}=p^{2}\end{array}\right\} \)

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