9).- Un grupo de estudios está conformado por 11 niños y 7 niñas. \( 5 i \) se escogen 4 estudiantes al azar. ¿cuál es la probabilidad de que todos sean niños? \( \begin{array}{lll}\text { a) } 11 / 102 & \text { b) } 13 / 102 & \text { c) } 11 / 51 \\ \text { d) } 13 / 51 & \text { e) } 15 / 103 & \end{array} \)

Para encontrar la probabilidad de que todos los estudiantes seleccionados sean niños, primero necesitamos determinar el número total de formas de seleccionar 4 estudiantes de un grupo de 11 niños y 7 niñas. El número total de formas de seleccionar 4 estudiantes de un grupo de 18 (11 niños + 7 niñas) se puede calcular utilizando la fórmula de combinación: \[ \text{Número total de formas} = \binom{18}{4} = \frac{18!}{4!(18-4)!} \] Una vez que tengamos el número total de formas de seleccionar 4 estudiantes, podemos encontrar la probabilidad de que todos sean niños dividiendo el número de formas de seleccionar 4 niños entre el número total de formas de seleccionar 4 estudiantes. \[ \text{Probabilidad} = \frac{\binom{11}{4}}{\binom{18}{4}} \] Vamos a calcular esto. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{ { }_{11}C_{4}}{ { }_{18}C_{4}}\) - step1: Expand the expression: \(\frac{\frac{11!}{4!\times \left(11-4\right)!}}{ { }_{18}C_{4}}\) - step2: Subtract the numbers: \(\frac{\frac{11!}{4!\times 7!}}{ { }_{18}C_{4}}\) - step3: Reduce the fraction: \(\frac{\frac{11\times 10\times 9\times 8}{4!}}{ { }_{18}C_{4}}\) - step4: Multiply: \(\frac{\frac{7920}{4!}}{ { }_{18}C_{4}}\) - step5: Divide the terms: \(\frac{330}{ { }_{18}C_{4}}\) - step6: Expand the expression: \(\frac{330}{\frac{18!}{4!\times \left(18-4\right)!}}\) - step7: Subtract the numbers: \(\frac{330}{\frac{18!}{4!\times 14!}}\) - step8: Reduce the fraction: \(\frac{330}{\frac{18\times 17\times 16\times 15}{4!}}\) - step9: Multiply the terms: \(\frac{330}{\frac{73440}{4!}}\) - step10: Divide the terms: \(\frac{330}{3060}\) - step11: Reduce the fraction: \(\frac{11}{102}\) La probabilidad de que todos los estudiantes seleccionados sean niños es de \( \frac{11}{102} \) o aproximadamente 0.1078. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a) \( \frac{11}{102} \).