5. Даны векторы \( \vec{a}=\{3 ; 5 ; 1\} \) и \( \vec{b}=\{1 ; 4 ; 2\} \), тогда длина вектора \( \vec{c}=\vec{a}-3 \vec{b} \) равна: \( \begin{array}{ll}\text { А) } \sqrt{70} & \text { D) } \sqrt{74} \\ \text { B) } \sqrt{24} & \text { E) } 8 \\ \text { C) } 9 & \end{array} \)

Сначала найдем вектор \( \vec{c} \). Для этого решим \( \vec{a} - 3 \vec{b} \): \[ \vec{c} = \{3; 5; 1\} - 3 \cdot \{1; 4; 2\} = \{3; 5; 1\} - \{3; 12; 6\} = \{3-3; 5-12; 1-6\} = \{0; -7; -5\} \] Теперь найдем длину вектора \( \vec{c} \): \[ |\vec{c}| = \sqrt{0^2 + (-7)^2 + (-5)^2} = \sqrt{0 + 49 + 25} = \sqrt{74} \] Таким образом, длина вектора \( \vec{c} \) равна \( \sqrt{74} \), что соответствует варианту D. Знали ли вы, что векторная алгебра имеет свое корни в древней Греции? Математики, такие как Евклид, использовали геометрические методы для анализа векторных величин. Со временем это развилось в современный подход, который мы используем сегодня. Если вы хотите улучшить свои навыки работы с векторами, попробуйте рисовать их на координатной плоскости. Это поможет вам визуализировать операции с векторами, такие как сложение и вычитание. Часто ученики забывают, что при работе с векторами важна не только арифметика, но и графическое представление их местоположения и направления!