22) $$ \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{2 x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}= $$ 23) $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}}-p}{\sqrt{x^{2}+q^{2}}-q}= $$

Question

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**22)** Sea  
$$
\lim_{x\rightarrow 4} \frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}.
$$  
Al evaluar en $$ x=4 $$, obtenemos $$ \sqrt{2\cdot 4+1}-3=\sqrt{9}-3=0 $$ en el numerador y $$ \sqrt{4-2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0 $$ en el denominador. Por lo tanto, se tiene la indeterminación $$ \frac{0}{0} $$.

Aplicamos la regla de L'Hôpital diferenciando el numerador y el denominador.

- Derivada del numerador:
  $$
  \frac{d}{dx}\left(\sqrt{2x+1}\right)=\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}\cdot2=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}.
  $$
  
- Derivada del denominador:
  $$
  \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x-2}\right)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}.
  $$
  
Entonces, el límite se transforma en:
$$
\lim_{x\rightarrow 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{2x+1}}}{\frac{1}{2\sqrt{x-2}}}=\lim_{x\rightarrow 4} \frac{2\sqrt{x-2}}{\sqrt{2x+1}}.
$$

Sustituyendo $$ x=4 $$:
$$
\sqrt{x-2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2},\quad \sqrt{2x+1}=\sqrt{2\cdot4+1}=\sqrt{9}=3,
$$
por lo que el límite es:
$$
\frac{2\sqrt{2}}{3}.
$$

**23)** Sea  
$$
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^2+p^2}-p}{\sqrt{x^2+q^2}-q}.
$$
Al evaluar en $$ x=0 $$, obtenemos:
$$
\sqrt{0+p^2}-p=p-p=0,\quad \sqrt{0+q^2}-q=q-q=0,
$$
lo que resulta en la indeterminación $$ \frac{0}{0} $$.

Aplicamos la regla de L'Hôpital diferenciando el numerador y el denominador respecto a $$ x $$.

- Derivada del numerador:
  $$
  \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2+p^2}\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+p^2}}.
  $$
  
- Derivada del denominador:
  $$
  \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2+q^2}\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+q^2}}.
  $$

El límite se convierte en:
$$
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+p^2}}}{\frac{x}{\sqrt{x^2+q^2}}}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^2+q^2}}{\sqrt{x^2+p^2}}.
$$

Sustituyendo $$ x=0 $$:
$$
\sqrt{0+p^2}=\sqrt{p^2}=p,\quad \sqrt{0+q^2}=\sqrt{q^2}=q,
$$
obtenemos:
$$
\frac{q}{p}.
$$
**22)** El límite es $$ \frac{2\sqrt{2}}{3} $$. **23)** El límite es $$ \frac{q}{p} $$.

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