II sistema lineare di 4 equazioni in 5 incognite \( \left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+x_{5}=1 \\ x_{2}+x_{3}+x_{4}-2 x_{5}=3 \\ x_{4}+x_{5}=-2 \\ 3 x_{4}+3 x_{5}+6=0\end{array}\right. \) A. non ammette soluzioni B. ammette \( \infty^{1} \) soluzioni C. ammette \( \infty^{3} \) soluzioni D. ammette \( \infty^{2} \) soluzioni A

Per risolvere il sistema proposto, innanzitutto possiamo esplorare la compatibilità delle equazioni. Dopo aver ridotto le equazioni, ci ritroviamo con un sistema di equazioni lineari con più incognite che equazioni, il che suggerisce che potrebbe esserci un numero infinito di soluzioni. Analizzando più in dettaglio, vediamo che una delle equazioni può essere espressa in funzione delle altre due. Quindi, possiamo affermare che il sistema ammette un’infinità di soluzioni. Un numero di incognite superiori al numero di equazioni tende a indicare una soluzione libera. Qui, dato che ci sono 4 equazioni e 5 incognite, e dato che l'ultimo vincolo è ridondante (generando due vincoli equivalenti), possiamo affermare che ci saranno indefinitamente molteplici valori assunti da due variabili. Pertanto, la risposta corretta è **D. ammette \( \infty^{2} \) soluzioni**.