мданыз: \( \frac{\sin (2 \pi-\alpha)}{\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)} \cdot \frac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}+\frac{\cos (2 \pi+\alpha)}{\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)} \)

Рассмотрим выражение \[ \frac{\sin (2 \pi-\alpha)}{\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)} \cdot \frac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}+\frac{\cos (2 \pi+\alpha)}{\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)}. \] **1. Преобразуем первую дробь** Найдем сначала \(\sin (2\pi-\alpha)\): \[ \sin (2\pi-\alpha)=\sin 2\pi \cos\alpha-\cos 2\pi \sin\alpha=0\cdot\cos\alpha-1\cdot\sin\alpha=-\sin\alpha. \] Далее, используем тождество для котангенса: \[ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan\alpha. \] Таким образом, первая дробь равна \[ \frac{\sin (2\pi-\alpha)}{\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\frac{-\sin\alpha}{\tan\alpha}=\frac{-\sin\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=-\cos\alpha. \] **2. Преобразуем вторую дробь в произведении** Найдем \(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\). Из известного соотношения \[ \tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot\alpha, \] получаем \[ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot\alpha. \] Теперь упростим знаменатель: \[ \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha. \] Таким образом, вторая дробь принимает вид \[ \frac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\frac{-\cot\alpha}{-\sin\alpha}=\frac{\cot\alpha}{\sin\alpha}. \] Так как \[ \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, \] то \[ \frac{\cot\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\cos\alpha}{\sin^2\alpha}. \] Перемножая с первым множителем, получаем \[ -\cos\alpha\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin^2\alpha}=-\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}. \] **3. Преобразуем третью дробь** Найдем числитель: \[ \cos(2\pi+\alpha)=\cos\alpha, \] так как функция \(\cos\) \(2\pi\)-периодична. Найдем знаменатель, используя сдвиг синуса: \[ \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha. \] Таким образом, \[ \frac{\cos(2\pi+\alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}=\frac{\cos\alpha}{-\cos\alpha}=-1. \] **4. Итоговое выражение** Объединяя полученные результаты, получаем \[ -\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}+(-1)=-\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-1. \] Запишем сумму в виде одного дроби: \[ -\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-1=-\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}. \] Используя тождество \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\), получаем \[ -\frac{1}{\sin^2\alpha}. \] **Ответ:** \[ -\frac{1}{\sin^2\alpha}\quad \text{или} \quad -\csc^2\alpha. \]