\( { }^{\circ} \cos 50^{\circ}+\sin 80^{\circ} \sin 50^{\circ} \) даныз: \( \left(\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}+\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}\right) \cdot \sin 2 \alpha \) \( \frac{\cos \left(\frac{2 \pi+\alpha)}{3 \pi+\alpha)}\right.}{\left.\frac{3 \pi}{\pi}+\alpha\right)} \)

Давайте решим каждую из частей вашего запроса по порядку. ### Часть 1: \( \cos 50^{\circ} + \sin 80^{\circ} \sin 50^{\circ} \) Сначала упростим выражение. Мы знаем, что \( \sin 80^{\circ} = \cos 10^{\circ} \) (так как \( \sin(90^{\circ} - x) = \cos x \)). Таким образом, мы можем переписать выражение: \[ \cos 50^{\circ} + \cos 10^{\circ} \sin 50^{\circ} \] Теперь применим формулу произведения: \[ \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) - \sin(A - B)] \] где \( A = 10^{\circ} \) и \( B = 50^{\circ} \): \[ \cos 10^{\circ} \sin 50^{\circ} = \frac{1}{2} [\sin(60^{\circ}) - \sin(-40^{\circ})] \] Теперь подставим это обратно в выражение: \[ \cos 50^{\circ} + \frac{1}{2} [\sin(60^{\circ}) + \sin(40^{\circ})] \] Теперь вычислим \( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin(40^{\circ}) \) (это значение можно оставить как есть или вычислить, если нужно). ### Часть 2: \( \left(\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}+\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}\right) \cdot \sin 2 \alpha \) Упростим первую часть: \[ \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha} = \sin \alpha \left( \frac{1}{1+\cos \alpha} + \frac{1}{1-\cos \alpha} \right) \] Объединим дроби: \[ = \sin \alpha \left( \frac{(1-\cos \alpha) + (1+\cos \alpha)}{(1+\cos \alpha)(1-\cos \alpha)} \right) = \sin \alpha \left( \frac{2}{1 - \cos^2 \alpha} \right) = \sin \alpha \left( \frac{2}{\sin^2 \alpha} \right) = \frac{2 \sin \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha} \] Теперь подставим это в выражение: \[ \frac{2}{\sin \alpha} \cdot \sin 2 \alpha \] Зная, что \( \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \): \[ = \frac{2}{\sin \alpha} \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha = 4 \cos \alpha \] ### Часть 3: \( \frac{\cos \left(\frac{2 \pi+\alpha}{3 \pi+\alpha}\right)}{\frac{3 \pi}{\pi}+\alpha} \) Упростим знаменатель: \[ \frac{3 \pi}{\pi} + \alpha = 3 + \alpha \] Таким образом, выражение становится: \[ \frac{\cos \left(\frac{2 \pi+\alpha}{3 \pi+\alpha}\right)}{3 + \alpha} \] Теперь у нас есть все части, и мы можем подвести итог: 1. \( \cos 50^{\circ} + \cos 10^{\circ} \sin 50^{\circ} \) требует дальнейших вычислений для окончательного значения. 2. \( \left(\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}+\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}\right) \cdot \sin 2 \alpha = 4 \cos \alpha \) 3. \( \frac{\cos \left(\frac{2 \pi+\alpha}{3 \pi+\alpha}\right)}{3 + \alpha} \) остается в таком виде. Если вам нужно больше информации или дальнейшие вычисления, дайте знать!