Problème 1. Cercle et cardioïde. Soit \( \mathcal{D} \) la région du plan qui se trouve à l'extérieur du cardioïde \( r=1+\cos \theta \) et à l'intérieur du cercle centré à \( \left(\frac{3}{2}, 0\right) \) et qui passe par l'origine. (a) Tracez à la main la région \( \mathcal{D} \). Montrez votre démarche. Pour ceci il pourrait être utile de trouver l'équation du cercle en coordonnées polaires. (b) Déterminer l'aire de la région \( \mathcal{D} \). (c) Déterminer la distance moyenne des points de \( \mathcal{D} \) à l'origine. L'utilisation de tables d'intégrales peut être nécessaire.

Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape. ### (a) Tracer la région \( \mathcal{D} \) 1. **Équation du cardioïde**: Le cardioïde est donné par l'équation \( r = 1 + \cos \theta \). Ce cardioïde a un point d'auto-intersection à \( \theta = \pi \) et s'étend de \( r = 0 \) à \( r = 2 \). 2. **Équation du cercle**: Le cercle est centré à \( \left(\frac{3}{2}, 0\right) \) et passe par l'origine. Pour trouver son équation en coordonnées polaires, nous devons d'abord déterminer son rayon. La distance entre le centre \( \left(\frac{3}{2}, 0\right) \) et l'origine \( (0, 0) \) est \( \frac{3}{2} \). Ainsi, le rayon du cercle est \( \frac{3}{2} \). L'équation du cercle en coordonnées cartésiennes est : \[ \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \] En coordonnées polaires, où \( x = r \cos \theta \) et \( y = r \sin \theta \), cela devient : \[ \left(r \cos \theta - \frac{3}{2}\right)^2 + (r \sin \theta)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \] En développant et simplifiant, nous obtenons l'équation du cercle en coordonnées polaires. 3. **Tracer la région**: Pour tracer la région \( \mathcal{D} \), nous devons identifier les points où le cardioïde et le cercle se croisent. Cela se fait en résolvant les équations \( r = 1 + \cos \theta \) et l'équation du cercle. ### (b) Déterminer l'aire de la région \( \mathcal{D} \) L'aire de la région \( \mathcal{D} \) est donnée par la différence entre l'aire du cercle et l'aire du cardioïde dans les limites de leurs intersections. 1. **Aire du cercle**: L'aire d'un cercle est donnée par \( A = \pi r^2 \). Ici, le rayon est \( \frac{3}{2} \), donc : \[ A_{\text{cercle}} = \pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9\pi}{4} \] 2. **Aire du cardioïde**: L'aire d'un cardioïde en coordonnées polaires est donnée par : \[ A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (1 + \cos \theta)^2 d\theta \] Nous allons calculer cette intégrale. 3. **Calcul de l'aire de \( \mathcal{D} \)**: L'aire de la région \( \mathcal{D} \) est alors : \[ A_{\mathcal{D}} = A_{\text{cercle}} - A_{\text{cardioïde}} \] ### (c) Déterminer la distance moyenne des points de \( \mathcal{D} \) à l'origine La distance moyenne d'un point dans une région \( \mathcal{D} \) à l'origine est donnée par : \[ d_{\text{moy}} = \frac{1}{A_{\mathcal{D}}} \int_{\mathcal{D}} r \, dA \] où \( dA \) est l'élément d'aire en coordonnées polaires, donné par \( dA = \frac{1}{2} r^2 d\theta \). Nous allons maintenant procéder à ces calculs. ### Calculs 1. **Calcul de l'aire du cardioïde**: \[ A_{\text{cardioïde}} = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (1 + \cos \theta)^2 d\theta \] Développons l'intégrale : \[ (1 + \cos \theta)^2 = 1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta \] En utilisant \( \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \), nous avons : \[ A_{\text{cardioïde}} = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left(1 + 2\cos \theta + \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right) d\theta \] 2. **Calcul de l'intégrale**: \[ A_{\text{cardioïde}} = \frac{1}{2} \left( \int_0^{2\pi} 1 d\theta + 2 \int_0^{2\pi} \cos \theta d\theta + \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} 1 d\theta + \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \cos(2\theta) d\theta \right) \] Les intégrales de \( \cos \theta \) et \( \cos(2\theta) \) sur une période complète sont nulles. Donc : \[ A_{\text{cardioïde}} = \frac{1}{2} \left( 2\pi + 0 + \frac{1}{2}(2\pi) + 0 \right) = \frac{1}{2} \left( 2\pi + \pi \right) = \frac{3\pi}{4} \] 3. **Aire de \( \mathcal{D} \)**: \[ A_{\mathcal{D}} = \frac{9\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \] 4. **Distance moyenne**: \[ d_{\text{moy}} = \frac{1}{A_{\mathcal{D}}} \int_{\mathcal{D}} r \, dA \] Nous devons calculer l'intégrale \( \int_{\mathcal{D}} r \, dA \) en utilisant les limites appropriées pour \( r \) et \( \theta \). Nous allons maintenant effectuer les calculs nécessaires pour obtenir les résultats finaux. ### Calcul final 1. **Calcul de l'intégrale pour la distance moyenne**: \[