Problème 1. Cercle et cardioïde. Soit $$ \mathcal{D} $$ la région du plan qui se trouve à l'extérieur du cardioïde $$ r=1+\cos heta $$ et à l'intérieur du cercle centré à $$ \left(\frac{3}{2}, 0 ight) $$ et qui passe par l'origine. (a) Tracez à la main la région $$ \mathcal{D} $$. Montrez votre démarche. Pour ceci il pourrait être utile de trouver l'équation du cercle en coordonnées polaires. (b) Déterminer l'aire de la région $$ \mathcal{D} $$. (c) Déterminer la distance moyenne des points de $$ \mathcal{D} $$ à l'origine. L'utilisation de tables d'intégrales peut être nécessaire.

Question

Problème 1. Cercle et cardioïde. Soit $$ \mathcal{D} $$ la région du plan qui se trouve à l'extérieur du cardioïde $$ r=1+\cos 	heta $$ et à l'intérieur du cercle centré à $$ \left(\frac{3}{2}, 0ight) $$ et qui passe par l'origine. (a) Tracez à la main la région $$ \mathcal{D} $$. Montrez votre démarche. Pour ceci il pourrait être utile de trouver l'équation du cercle en coordonnées polaires. (b) Déterminer l'aire de la région $$ \mathcal{D} $$. (c) Déterminer la distance moyenne des points de $$ \mathcal{D} $$ à l'origine. L'utilisation de tables d'intégrales peut être nécessaire.

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Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape.

### (a) Tracer la région $$ \mathcal{D} $$

1. **Équation du cardioïde**: Le cardioïde est donné par l'équation $$ r = 1 + \cos \theta $$. Ce cardioïde a un point d'auto-intersection à $$ \theta = \pi $$ et s'étend de $$ r = 0 $$ à $$ r = 2 $$.

2. **Équation du cercle**: Le cercle est centré à $$ \left(\frac{3}{2}, 0\right) $$ et passe par l'origine. Pour trouver son équation en coordonnées polaires, nous devons d'abord déterminer son rayon. La distance entre le centre $$ \left(\frac{3}{2}, 0\right) $$ et l'origine $$ (0, 0) $$ est $$ \frac{3}{2} $$. Ainsi, le rayon du cercle est $$ \frac{3}{2} $$.

L'équation du cercle en coordonnées cartésiennes est :
   $$
   \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2
   $$
   En coordonnées polaires, où $$ x = r \cos \theta $$ et $$ y = r \sin \theta $$, cela devient :
   $$
   \left(r \cos \theta - \frac{3}{2}\right)^2 + (r \sin \theta)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2
   $$
   En développant et simplifiant, nous obtenons l'équation du cercle en coordonnées polaires.

3. **Tracer la région**: Pour tracer la région $$ \mathcal{D} $$, nous devons identifier les points où le cardioïde et le cercle se croisent. Cela se fait en résolvant les équations $$ r = 1 + \cos \theta $$ et l'équation du cercle.

### (b) Déterminer l'aire de la région $$ \mathcal{D} $$

L'aire de la région $$ \mathcal{D} $$ est donnée par la différence entre l'aire du cercle et l'aire du cardioïde dans les limites de leurs intersections.

1. **Aire du cercle**: L'aire d'un cercle est donnée par $$ A = \pi r^2 $$. Ici, le rayon est $$ \frac{3}{2} $$, donc :
   $$
   A_{\text{cercle}} = \pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9\pi}{4}
   $$

2. **Aire du cardioïde**: L'aire d'un cardioïde en coordonnées polaires est donnée par :
   $$
   A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (1 + \cos \theta)^2 d\theta
   $$
   Nous allons calculer cette intégrale.

3. **Calcul de l'aire de $$ \mathcal{D} $$**: L'aire de la région $$ \mathcal{D} $$ est alors :
   $$
   A_{\mathcal{D}} = A_{\text{cercle}} - A_{\text{cardioïde}}
   $$

### (c) Déterminer la distance moyenne des points de $$ \mathcal{D} $$ à l'origine

La distance moyenne d'un point dans une région $$ \mathcal{D} $$ à l'origine est donnée par :
$$
d_{\text{moy}} = \frac{1}{A_{\mathcal{D}}} \int_{\mathcal{D}} r \, dA
$$
où $$ dA $$ est l'élément d'aire en coordonnées polaires, donné par $$ dA = \frac{1}{2} r^2 d\theta $$.

Nous allons maintenant procéder à ces calculs.

### Calculs

1. **Calcul de l'aire du cardioïde**:
   $$
   A_{\text{cardioïde}} = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (1 + \cos \theta)^2 d\theta
   $$
   Développons l'intégrale :
   $$
   (1 + \cos \theta)^2 = 1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta
   $$
   En utilisant $$ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $$, nous avons :
   $$
   A_{\text{cardioïde}} = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left(1 + 2\cos \theta + \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right) d\theta
   $$

2. **Calcul de l'intégrale**:
   $$
   A_{\text{cardioïde}} = \frac{1}{2} \left( \int_0^{2\pi} 1 d\theta + 2 \int_0^{2\pi} \cos \theta d\theta + \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} 1 d\theta + \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \cos(2\theta) d\theta \right)
   $$
   Les intégrales de $$ \cos \theta $$ et $$ \cos(2\theta) $$ sur une période complète sont nulles. Donc :
   $$
   A_{\text{cardioïde}} = \frac{1}{2} \left( 2\pi + 0 + \frac{1}{2}(2\pi) + 0 \right) = \frac{1}{2} \left( 2\pi + \pi \right) = \frac{3\pi}{4}
   $$

3. **Aire de $$ \mathcal{D} $$**:
   $$
   A_{\mathcal{D}} = \frac{9\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}
   $$

4. **Distance moyenne**:
   $$
   d_{\text{moy}} = \frac{1}{A_{\mathcal{D}}} \int_{\mathcal{D}} r \, dA
   $$
   Nous devons calculer l'intégrale $$ \int_{\mathcal{D}} r \, dA $$ en utilisant les limites appropriées pour $$ r $$ et $$ \theta $$.

Nous allons maintenant effectuer les calculs nécessaires pour obtenir les résultats finaux.

### Calcul final

1. **Calcul de l'intégrale pour la distance moyenne**:
   \[

Pour résoudre ce problème, nous devons tracer la région $$ \mathcal{D} $$ qui se trouve à l'extérieur du cardioïde $$ r = 1 + \cos \theta $$ et à l'intérieur du cercle centré à $$ \left(\frac{3}{2}, 0\right) $$ et passant par l'origine. Ensuite, nous calculons l'aire de $$ \mathcal{D} $$ en soustrayant l'aire du cardioïde de celle du cercle. Enfin, nous déterminons la distance moyenne des points de $$ \mathcal{D} $$ à l'origine en intégrant la distance $$ r $$ sur la région $$ \mathcal{D} $$ et en utilisant l'aire de $$ \mathcal{D} $$ pour normaliser cette intégrale.

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