Un bombero, a una distancia $$ d $$ de un edificio en llamas, diri- ge un chorro de agua desde una manguera en un ángulo $$ heta_{i} $$ sobre la horizontal, como se muestra en la figura P4.14. Si la rapidez inicial del chorro es $$ v_{i} $$, ¿en qué altura $$ h $$ el agua golpea al edificio?

Question

Un bombero, a una distancia $$ d $$ de un edificio en llamas, diri- ge un chorro de agua desde una manguera en un ángulo $$ 	heta_{i} $$ sobre la horizontal, como se muestra en la figura P4.14. Si la rapidez inicial del chorro es $$ v_{i} $$, ¿en qué altura $$ h $$ el agua golpea al edificio?

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Para resolver el problema, utilizaremos las ecuaciones del movimiento en dos dimensiones. Sabemos que el agua se lanza desde una manguera en un ángulo $$ \theta_{i} $$ con una velocidad inicial $$ v_{i} $$. Queremos encontrar la altura $$ h $$ en la que el agua golpea el edificio a una distancia $$ d $$.

### Paso 1: Descomponer la velocidad inicial

La velocidad inicial $$ v_{i} $$ se puede descomponer en sus componentes horizontal y vertical:

- Componente horizontal: 
$$
v_{ix} = v_{i} \cdot \cos(\theta_{i})
$$

- Componente vertical: 
$$
v_{iy} = v_{i} \cdot \sin(\theta_{i})
$$

### Paso 2: Calcular el tiempo de vuelo

El tiempo $$ t $$ que tarda el agua en alcanzar la distancia $$ d $$ se puede calcular usando la componente horizontal de la velocidad:

$$
d = v_{ix} \cdot t \implies t = \frac{d}{v_{ix}} = \frac{d}{v_{i} \cdot \cos(\theta_{i})}
$$

### Paso 3: Calcular la altura $$ h $$

La altura $$ h $$ a la que el agua golpea el edificio se puede calcular usando la ecuación del movimiento vertical:

$$
h = v_{iy} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2
$$

donde $$ g $$ es la aceleración debida a la gravedad. Sustituyendo $$ t $$ en la ecuación de altura:

$$
h = v_{iy} \cdot \left(\frac{d}{v_{i} \cdot \cos(\theta_{i})}\right) - \frac{1}{2} g \left(\frac{d}{v_{i} \cdot \cos(\theta_{i})}\right)^2
$$

Sustituyendo $$ v_{iy} $$:

$$
h = \left(v_{i} \cdot \sin(\theta_{i})\right) \cdot \left(\frac{d}{v_{i} \cdot \cos(\theta_{i})}\right) - \frac{1}{2} g \left(\frac{d}{v_{i} \cdot \cos(\theta_{i})}\right)^2
$$

### Paso 4: Simplificar la expresión

Simplificamos la expresión para $$ h $$:

$$
h = \frac{d \cdot \sin(\theta_{i})}{\cos(\theta_{i})} - \frac{1}{2} g \cdot \frac{d^2}{(v_{i}^2 \cdot \cos^2(\theta_{i}))}
$$

### Resultado final

La altura $$ h $$ en la que el agua golpea el edificio es:

$$
h = d \cdot \tan(\theta_{i}) - \frac{g \cdot d^2}{2 \cdot v_{i}^2 \cdot \cos^2(\theta_{i})}
$$

Esta es la altura a la que el agua impacta el edificio en función de la distancia $$ d $$, el ángulo $$ \theta_{i} $$ y la velocidad inicial $$ v_{i} $$.
La altura $$ h $$ en la que el agua golpea el edificio se calcula usando la fórmula: $$ h = d \cdot \tan(\theta_{i}) - \frac{g \cdot d^2}{2 \cdot v_{i}^2 \cdot \cos^2(\theta_{i})} $$ Donde: - $$ d $$ es la distancia desde el bombero al edificio, - $$ \theta_{i} $$ es el ángulo de lanzamiento, - $$ v_{i} $$ es la velocidad inicial del chorro de agua, - $$ g $$ es la aceleración debida a la gravedad. Esta fórmula permite determinar la altura exacta en la que el agua impacta el edificio.

Un bombero, a una distancia \( d \) de un edificio en llamas, diri- ge un chorro de agua desde una manguera en un ángulo \( \theta_{i} \) sobre la horizontal, como se muestra en la figura P4.14. Si la rapidez inicial del chorro es \( v_{i} \), ¿en qué altura \( h \) el agua golpea al edificio?

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