Un bombero, a una distancia \( d \) de un edificio en llamas, diri- ge un chorro de agua desde una manguera en un ángulo \( \theta_{i} \) sobre la horizontal, como se muestra en la figura P4.14. Si la rapidez inicial del chorro es \( v_{i} \), ¿en qué altura \( h \) el agua golpea al edificio?

Para determinar la altura \( h \) en la que el chorro de agua golpea el edificio, primero descomponemos la velocidad inicial \( v_i \) en sus componentes horizontal y vertical. La componente horizontal es \( v_{ix} = v_i \cos(\theta_i) \) y la componente vertical es \( v_{iy} = v_i \sin(\theta_i) \). El tiempo \( t \) que el agua tarda en recorrer la distancia \( d \) hasta el edificio está dado por la relación \( d = v_{ix} t \), lo que nos permite despejar \( t = \frac{d}{v_{ix}} \). Sustituyendo esto en la ecuación de la altura \( h \) del proyectil, que es \( h = v_{iy} t - \frac{1}{2} g t^2 \), obtenemos: \[ h = v_{iy} \left(\frac{d}{v_{ix}}\right) - \frac{1}{2} g \left(\frac{d}{v_{ix}}\right)^2. \] Al sustituir las componentes, la altura se convierte en: \[ h = v_i \sin(\theta_i) \left(\frac{d}{v_i \cos(\theta_i)}\right) - \frac{1}{2} g \left(\frac{d}{v_i \cos(\theta_i)}\right)^2, \] lo que simplifica a: \[ h = d \tan(\theta_i) - \frac{g d^2}{2 v_i^2 \cos^2(\theta_i)}. \] Así, esta fórmula nos da la altura en la que el agua impacta el edificio. ¡Recuerda asegurarte de que todas las unidades estén correctamente medidas para evitar confusiones!