3. The normal to the curve $$ y=x^{2}-5 x $$ at point $$ A $$ is parallel to the straight line $$ y=-3 x+6 $$. Find the equation of the normal to the curve at point $$ A $$. Garis normal kepada lengkung $$ y=x^{2}-5 x $$ pada titik $$ A $$ adalah selari dengan garis lurus $$ y=-3 x+6 $$. Cari persamaan garis normal kepada lengkung pada titik $$ A $$.

Question

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1. 首先，已知曲线为  
   $$
   y = x^2 - 5x
   $$
   求其在点 $$ A $$ 处的切线斜率，需要求导：
   $$
   \frac{dy}{dx} = 2x - 5.
   $$

2. 切线斜率为 $$ 2x-5 $$ ，因此法线斜率（即切线斜率的负倒数）为：
   $$
   m_{\text{法}} = -\frac{1}{2x-5}.
   $$

3. 题中给出法线平行于直线  
   $$
   y = -3x + 6,
   $$
   其斜率为 $$-3$$。由于相互平行，法线斜率即为 $$-3$$，所以有：
   $$
   -\frac{1}{2x-5} = -3.
   $$

4. 解方程求 $$ x $$：
   $$
   -\frac{1}{2x-5} = -3 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2x-5} = 3.
   $$
   两边取倒数：
   $$
   2x-5 = \frac{1}{3}.
   $$
   解得：
   $$
   2x = 5 + \frac{1}{3} = \frac{15}{3} + \frac{1}{3} = \frac{16}{3},
   $$
   $$
   x = \frac{16}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{8}{3}.
   $$

5. 将 $$ x = \frac{8}{3} $$ 代入曲线方程求 $$ y $$：
   $$
   y = \left(\frac{8}{3}\right)^2 - 5\left(\frac{8}{3}\right) = \frac{64}{9} - \frac{40}{3}.
   $$
   将 $$\frac{40}{3}$$ 化成以9为分母的分数：
   $$
   \frac{40}{3} = \frac{120}{9},
   $$
   所以
   $$
   y = \frac{64}{9} - \frac{120}{9} = -\frac{56}{9}.
   $$
   因此，点 $$ A $$ 的坐标为
   $$
   \left(\frac{8}{3}, -\frac{56}{9}\right).
   $$

6. 已知法线斜率为 $$-3$$，且通过点 $$ A\left(\frac{8}{3}, -\frac{56}{9}\right) $$，用点斜式写法线方程：
   $$
   y - \left(-\frac{56}{9}\right) = -3\left(x - \frac{8}{3}\right),
   $$
   即
   $$
   y + \frac{56}{9} = -3x + 3\cdot\frac{8}{3}.
   $$
   计算 $$ 3\cdot\frac{8}{3} = 8 $$，得：
   $$
   y + \frac{56}{9} = -3x + 8.
   $$

7. 将方程整理为一般形式：
   $$
   y = -3x + 8 - \frac{56}{9}.
   $$
   写成同分母形式：
   $$
   8 = \frac{72}{9},
   $$
   得：
   $$
   y = -3x + \frac{72}{9} - \frac{56}{9} = -3x + \frac{16}{9}.
   $$

最终，法线的方程为  
$$
y = -3x + \frac{16}{9}.
$$
法线方程为 $$ y = -3x + \frac{16}{9} $$。

The normal to the curve at
point is parallel to the straight line
. Find the equation of the
normal to the curve at point .
Garis normal kepada lengkung
pada titik adalah selari dengan garis lurus
. Cari persamaan garis normal
kepada lengkung pada titik .

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The normal to the curve at point is parallel to the straight line . Find the equation of the normal to the curve at point . Garis normal kepada lengkung pada titik adalah selari dengan garis lurus . Cari persamaan garis normal kepada lengkung pada titik .