3. กำหนดให้ $$ p(x) $$ และ $$ q(x) $$ เป็นพหุนามดีกรี 3 ที่ทำให้ $$ p(-1)=1 $$ และ $$ q(-1)=-1 $$ แล้วพหุนามในข้อใดต่อไปนี้ หารด้วย $$ x+1 $$ ลงตัว

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

พิจารณาโดยใช้ทฤษฎีตัวหาร (Factor Theorem) ซึ่งระบุว่า $$x+1$$ จะเป็นตัวหารของพหุนาม $$ r(x) $$ ถ้า $$ r(-1)=0 $$

ให้ดูจากตัวเลือกต่าง ๆ ที่ประกอบด้วยพหุนาม $$ p(x) $$ และ $$ q(x) $$ เราสังเกตว่ามีเงื่อนไข

$$
p(-1)=1 \quad \text{และ} \quad q(-1)=-1
$$

ตัวเลือกที่น่าสนใจคือ $$ p(x)+q(x) $$ ซึ่งเมื่อนำ $$ x=-1 $$ มาแทนจะได้

$$
p(-1)+q(-1)= 1+(-1)=0
$$

เนื่องจาก $$ p(-1)+q(-1)=0 $$ จึงแสดงว่า $$ x+1 $$ เป็นตัวหารของ $$ p(x)+q(x) $$

ดังนั้น พหุนามที่หารด้วย $$ x+1 $$ ลงตัวคือ

$$
p(x)+q(x)
$$
$$ p(x) + q(x) $$ หารด้วย $$ x+1 $$ ลงตัว

3. กำหนดให้ \( p(x) \) และ \( q(x) \) เป็นพหุนามดีกรี 3 ที่ทำให้ \( p(-1)=1 \) และ \( q(-1)=-1 \) แล้วพหุนามในข้อใดต่อไปนี้ หารด้วย \( x+1 \) ลงตัว