¿Cuál de los siguientes conjuntos es Singleton? $$ A=\{x / x \quad \mathbb{Z} ; x

Question

¿Cuál de los siguientes conjuntos es Singleton? $$ A=\{x / x \quad \mathbb{Z} ; x<1\} $$ $$ B=\left\{x / x \in \mathbb{N} ; x^{2}-2 x-3=0\right\} $$ $$ C=\{x / x \in \mathbb{Z} ; 7<3 x<11\} $$

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Para determinar cuál de los conjuntos es un conjunto singleton, debemos analizar cada uno de ellos y ver cuántos elementos contienen. 1. **Conjunto $$ A $$**: $$ A = \{x \,|\, x \in \mathbb{Z} ; x < 1\} $$ Este conjunto incluye todos los números enteros menores que 1. Por lo tanto, contiene los elementos: $$ \ldots, -3, -2, -1, 0 $$. Este conjunto tiene infinitos elementos, así que **no es un singleton**. 2. **Conjunto $$ B $$**: $$ B = \{x \,|\, x \in \mathbb{N} ; x^{2}-2x-3=0\} $$ Primero, resolvemos la ecuación cuadrática $$ x^{2}-2x-3=0 $$ utilizando la fórmula general: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ donde $$ a = 1, b = -2, c = -3 $$. Calculamos el discriminante: $$ b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 $$ Ahora, aplicamos la fórmula: $$ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} $$ Esto nos da dos soluciones: $$ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 $$ Sin embargo, como estamos buscando $$ x \in \mathbb{N} $$ (números naturales), solo $$ x = 3 $$ es válido. Por lo tanto, el conjunto $$ B $$ es: $$ B = \{3\} $$ Este conjunto tiene un solo elemento, así que **es un singleton**. 3. **Conjunto $$ C $$**: $$ C = \{x \,|\, x \in \mathbb{Z} ; 7 < 3x < 11\} $$ Para resolver esta desigualdad, dividimos en dos partes: $$ 7 < 3x \quad \Rightarrow \quad x > \frac{7}{3} \quad \Rightarrow \quad x > 2.33 $$ $$ 3x < 11 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{11}{3} \quad \Rightarrow \quad x < 3.67 $$ Entonces, combinando ambas desigualdades, tenemos: $$ 2.33 < x < 3.67 $$ Los únicos números enteros que satisfacen esta condición son $$ x = 3 $$. Por lo tanto, el conjunto $$ C $$ es: $$ C = \{3\} $$ Este conjunto también tiene un solo elemento, así que **es un singleton**. ### Conclusión: Los conjuntos $$ B $$ y $$ C $$ son conjuntos singleton, ya que ambos contienen un solo elemento, que es $$ 3 $$. Los conjuntos $$ B $$ y $$ C $$ son conjuntos singleton, ya que cada uno contiene solo un elemento, que es $$ 3 $$.

¿Cuál de los siguientes conjuntos es Singleton? \( A=\{x / x \quad \mathbb{Z} ; x<1\} \) \( B=\left\{x / x \in \mathbb{N} ; x^{2}-2 x-3=0\right\} \) \( C=\{x / x \in \mathbb{Z} ; 7<3 x<11\} \)

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