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Matemática 1 - Año 2025 IA - IRINMA
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Mar 25,2025

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niversidad Nacional de Salta acultad de Ciencias Naturale Matemática 1 - Año 2025 IA - IRINMA i) $$ \frac{1}{3}(x $$ 2) $$ +x \leq \frac{3}{3} x \quad 1 $$ ii) $$ 4 x-2(1-2 x)>x-\frac{1}{4} $$ iii) $$ (x $$ $$ 2)^{2}x^{2} 3 x $$ v) $$ x^{2}<16 $$ vi) $$ -4 x^{2}+2>-5 x^{2}+1 $$ (ii) $$ (4 x-2)^{2}<0 $$ viii) $$ \frac{x+2}{x+1}-1<0 $$ ix) $$ \frac{1}{1-x}+\frac{x}{1-x} \geq 1 $$ Etividad $$ 4: $$

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Vamos a resolver cada una de las desigualdades y ecuaciones que has proporcionado, paso a paso. ### i) $$ \frac{1}{3}x^2 + x \leq \frac{3}{3} x $$ Primero, simplificamos la desigualdad: $$ \frac{1}{3}x^2 + x \leq x $$ Restamos $$ x $$ de ambos lados: $$ \frac{1}{3}x^2 \leq 0 $$ Multiplicamos por 3 (sin cambiar la dirección de la desigualdad): $$ x^2 \leq 0 $$ La única solución es $$ x = 0 $$. ### ii) $$ 4x - 2(1 - 2x) > x - \frac{1}{4} $$ Expandimos y simplificamos: $$ 4x - 2 + 4x > x - \frac{1}{4} $$ $$ 8x - 2 > x - \frac{1}{4} $$ Restamos $$ x $$ de ambos lados: $$ 7x - 2 > -\frac{1}{4} $$ Sumamos 2 a ambos lados: $$ 7x > \frac{7}{4} $$ Dividimos por 7: $$ x > \frac{1}{4} $$ ### iii) $$ (x^2)^{2} < x^2 + 5 $$ Simplificamos: $$ x^4 < x^2 + 5 $$ Reorganizamos: $$ x^4 - x^2 - 5 < 0 $$ Definimos $$ y = x^2 $$: $$ y^2 - y - 5 < 0 $$ Resolviendo la ecuación cuadrática $$ y^2 - y - 5 = 0 $$ usando la fórmula cuadrática: $$ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} $$ Calculamos el discriminante: $$ 1 + 20 = 21 $$ Entonces: $$ y = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2} $$ Las raíces son $$ y_1 $$ y $$ y_2 $$. Ahora, determinamos los intervalos donde la desigualdad es negativa. ### iv) $$ (x + 1)^3 > x^2 + 3x $$ Expandimos el lado izquierdo: $$ x^3 + 3x^2 + 3x + 1 > x^2 + 3x $$ Restamos $$ x^2 + 3x $$: $$ x^3 + 2x^2 + 1 > 0 $$ ### v) $$ x^2 < 16 $$ Tomamos la raíz cuadrada: $$ -4 < x < 4 $$ ### vi) $$ -4x^2 + 2 > -5x^2 + 1 $$ Reorganizamos: $$ -x^2 + 1 > 0 $$ Multiplicamos por -1 (cambiando la dirección de la desigualdad): $$ x^2 < 1 $$ Entonces: $$ -1 < x < 1 $$ ### vii) $$ (4x - 2)^2 < 0 $$ Un cuadrado siempre es mayor o igual a cero, por lo que no hay solución. ### viii) $$ \frac{x + 2}{x + 1} - 1 < 0 $$ Simplificamos: $$ \frac{x + 2 - (x + 1)}{x + 1} < 0 $$ $$ \frac{1}{x + 1} < 0 $$ Esto implica que $$ x + 1 < 0 $$, por lo que: $$ x < -1 $$ ### ix) $$ \frac{1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x} \geq 1 $$ Simplificamos: $$ \frac{1 + x}{1 - x} \geq 1 $$ Multiplicamos ambos lados por $$ 1 - x $$ (considerando el signo): $$ 1 + x \geq 1 - x $$ Reorganizamos: $$ 2x \geq 0 \implies x \geq 0 $$ ### Resumen de soluciones: 1. $$ x = 0 $$ 2. $$ x > \frac{1}{4} $$ 3. $$ y^2 - y - 5 < 0 $$ (resolver para $$ y $$) 4. $$ x^3 + 2x^2 + 1 > 0 $$ 5. $$ -4 < x < 4 $$ 6. $$ -1 < x < 1 $$ 7. No hay solución. 8. $$ x < -1 $$ 9. $$ x \geq 0 $$ Si necesitas más detalles sobre alguna de las soluciones, házmelo saber. Aquí están las soluciones resumidas para cada desigualdad y ecuación: 1. $$ x = 0 $$ 2. $$ x > \frac{1}{4} $$ 3. $$ y^2 - y - 5 < 0 $$ (resolver para $$ y $$) 4. $$ x^3 + 2x^2 + 1 > 0 $$ 5. $$ -4 < x < 4 $$ 6. $$ -1 < x < 1 $$ 7. No hay solución. 8. $$ x < -1 $$ 9. $$ x \geq 0 $$ Si necesitas más detalles sobre alguna solución, avísame.

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