Borné par les cylindres $$ z=x^{2}, y=x^{2} $$ et les plans $$ z=0, y=4 $$

Question

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Pour résoudre ce problème, nous devons d'abord comprendre la région délimitée par les cylindres et les plans donnés.

### Conditions connues :

1. **Cylindres :**
   - $$ z = x^2 $$ : Ce cylindre s'ouvre vers le haut et est symétrique par rapport à l'axe $$ z $$.
   - $$ y = x^2 $$ : Ce cylindre s'ouvre également vers le haut et est symétrique par rapport à l'axe $$ y $$.

2. **Plans :**
   - $$ z = 0 $$ : C'est le plan de base (le plan $$ xy $$).
   - $$ y = 4 $$ : C'est un plan vertical qui coupe le plan $$ xy $$ à $$ y = 4 $$.

### Étapes pour décrire la région :

1. **Déterminer les intersections des cylindres :**
   - Les cylindres $$ z = x^2 $$ et $$ y = x^2 $$ se croisent lorsque $$ z = y $$. Cela signifie que pour un point donné, $$ z $$ et $$ y $$ sont égaux et dépendent de $$ x $$.

2. **Déterminer les limites de $$ x $$ :**
   - Puisque $$ y $$ est limité par $$ y = 4 $$, nous avons $$ x^2 \leq 4 $$, ce qui donne $$ -2 \leq x \leq 2 $$.

3. **Déterminer les limites de $$ z $$ :**
   - Pour chaque valeur de $$ x $$, $$ z $$ varie de $$ 0 $$ (le plan de base) à $$ z = x^2 $$.

### Conclusion :

La région délimitée est donc un volume qui s'étend de $$ z = 0 $$ à $$ z = x^2 $$, pour $$ -2 \leq x \leq 2 $$ et $$ 0 \leq y \leq x^2 $$ jusqu'à $$ y = 4 $$.

### Volume de la région :

Pour calculer le volume de cette région, nous pouvons utiliser l'intégration. Le volume $$ V $$ peut être exprimé par l'intégrale triple :

$$
V = \int_{-2}^{2} \int_{0}^{x^2} \int_{0}^{x^2} dz \, dy \, dx
$$

Calculons ce volume.

1. **Intégration par rapport à $$ z $$** :
   $$
   \int_{0}^{x^2} dz = x^2
   $$

2. **Intégration par rapport à $$ y $$** :
   $$
   \int_{0}^{x^2} x^2 \, dy = x^2 \cdot y \bigg|_{0}^{x^2} = x^2 \cdot x^2 = x^4
   $$

3. **Intégration par rapport à $$ x $$** :
   $$
   V = \int_{-2}^{2} x^4 \, dx
   $$

Calculons cette dernière intégrale.

### Calcul de l'intégrale :

$$
\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}
$$

Évaluons cette intégrale de $$ -2 $$ à $$ 2 $$ :

$$
V = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-2}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{(-2)^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{-32}{5} = \frac{32 + 32}{5} = \frac{64}{5}
$$

### Résultat final :

Le volume de la région délimitée par les cylindres et les plans est :

$$
V = \frac{64}{5}
$$
La région est délimitée par les cylindres $$ z = x^2 $$ et $$ y = x^2 $$, ainsi que les plans $$ z = 0 $$ et $$ y = 4 $$. Le volume de cette région est $$ \frac{64}{5} $$.

Borné par les cylindres \( z=x^{2}, y=x^{2} \) et les plans \( z=0, y=4 \)

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